正定矩阵和半正定矩阵

article/2025/9/20 4:11:32

定义

正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite，其中，definite是一个形容词，表示“明确的、确定的”等意思。

【定义1】给定一个大小为 $n\times n$ 的实对称矩阵 $A$ ，若对于任意长度为 $n$ 的非零向量 $x$ ，有 $x^TAx>0$ 恒成立，则矩阵 $A$ 是一个正定矩阵。

【例1】单位矩阵 $I \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是否是正定矩阵？

解：设向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 为非零向量，则

$\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{I} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x}$ $=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}>0$

故，单位矩阵 $I \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵。

单位矩阵是正定矩阵 (positive definite)。

【例2】实对称矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc} {2} & {-1} & {0} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {0} & {-1} & {2} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 是否是正定矩阵？

解：设向量 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{3}$ 为非零向量，则

$\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} {\left(2 x_{1}-x_{2}\right)} & {\left(-x_{1}+2 x_{2}-x_{3}\right)} & {-x_{2}+2 x_{3}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}} \end{array}\right]$

$=x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+x_{3}^{2}>0$

因此，矩阵 $A$ 是正定矩阵。

【定义2】给定一个大小为 $n\times n$ 的实对称矩阵 $A$ ，若对于任意长度为 $n$ 的非零向量 $x$ ，有 $x^TAx\geqslant 0$ 恒成立，则矩阵 $A$ 是一个半正定矩阵。

根据正定矩阵和半正定矩阵的定义，我们也会发现：半正定矩阵包括了正定矩阵，与非负实数 (non-negative real number)和正实数 (positive real number)之间的关系很像。

实际上，我们可以将 $y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}$ 视作 $y=a x^{2}$ 的多维表达式。当我们希望 $y=\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geq 0$ 对于任意向量 $x$ 都恒成立，就要求矩阵 $A$ 是一个半正定矩阵，对应于二次函数， $y=a x^{2}>0, \forall x$ 需要使得 $a \geq 0$ .

若给定任意一个正定矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和一个非零向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ ，则两者相乘得到的向量 $\boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 与向量 $x$ 的夹角恒小于 $\frac{\pi}{2}$ . (等价于： $\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}>0$ .)

若给定任意一个正定矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 和一个非零向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ ，则两者相乘得到的向量 $\boldsymbol{y}=A \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 与向量 $x$ 的夹角恒小于或等于 $\frac{\pi}{2}$ . (等价于： $\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} \geqslant 0$ .)