正态分布中的半正定矩阵（协方差矩阵）

1.什么是正定矩阵和半正定矩阵

我们学习半正定矩阵前，得先了解，正定矩阵与半正定矩阵的关系以及什么是正定矩阵。这里先学习什么是二次型。

首先给出二次型的定义
定义1:设P为数域，$a_{i}j\in P,i,j=1,2,\dots ,n$,n个数字x_1,x_2…,x_n的二次齐次多项式。

称为数域P上的一个n元二次型
而这个式子可进一步可写成：

由于约定二次型中

，可知$x_i{x}_j=x_j{x}_i$,有

由于笔者数学基础差，在此记录一下转化过程

将上式子的系数a排列成一个n×n矩阵

这个矩阵就称为二次型的矩阵，由于上面我们所约定$a_{i}j=a_{j}i,i,j=1,2,\dots ,n$,由此可知$A^{\prime }=A$。

意思是：转置矩阵=原矩阵
这种转置矩阵和原矩阵相等的矩阵称为对称矩阵，即二次型矩阵都是对称矩阵。

这个式子可以进一步化成以下形式：
原式为：

把x提出来

再次转化成矩阵形式
再把矩阵中x提取出来得到

其中

我们称 f(x)=X’AX 为二次型的矩形形式，其中实对称矩阵A称为该二次型的矩阵。
二次型f称为实对称矩阵A的二次型。实对称矩阵A的秩称为:二次型的秩。于是，二次型f与其实对称矩阵A之间有一一对应关系。

$$\forall x\in R^n且x\ne 0\{\begin{array}{r}{X}^{T}AX>0(1)\\ X^{T}AX\ge 0(2)\end{array}$$
其中（1）式成立，则称为正定矩阵，（2）式成立则称为半正定矩阵。

其中x^T Ax为二次型的矩形形式。

举一个简单的例子：
(1)假设
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$

则$X^{T}AX=x_1^2+x_1^2>0$。满足这一条件称为正定矩阵。

(2)假设

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
则$X^{T}AX=x_1^2+x_1^2+2x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2\ge 0$。满足这一条件称为半正定矩阵。

2.正定矩阵和半正定矩阵意义

在一维中，二次函数表达形式为
$y=a{x}^2+bx+c$,
当$a>0$时，开口向上，凸函数，存在最低点。当$a<0$时，开口向下，凹函数，存在最高点。
输入：x 单元（一维下的值）
输出：y 单值（一维下的值）

在多维中，二次函数的输入x数为矩阵形式，例如：
输入：$$A=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}m\right],多元（多位下的矩阵）$$
输出：y 单值（一维下的值）

这里我们可以得到一个结论，
假设A矩阵为正定矩阵且对称，则所有特征值≥0;

个人总结推导：
当$A$矩阵为正定时，$\forall x\in R^n$且$x\ne 0,X^{T}AX>0$ 。
当$A$矩阵为对称时，$A^T=A$，且必有正交矩阵$P^{T}AP=\wedge$，其中$\wedge$是以$A$的$n$个特征值为对角元素的对角矩阵。对应于不同特征值的特征向量正交，故这$n$个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵P,则可得到：$P^{T}AP=P^T\wedge P=\wedge$
即可得：$A=P^T\wedge P$。

将$A=P^T\wedge P代入X^{T}AX>0$，可得：$X^T{P}^T\wedge PX>0$。
假设$y=P^{T}X,y^T=P{X}^T,P^T$为一个可逆的n×n矩阵。则$X^{T}P\wedge P^{T}X>0$可化为$y^T\wedge y>0$。
因为
$\wedge =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_1\end{array}\right]$

$y^T\wedge y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2>0$，可得到当取任取$y_i=1$，其他元素都为0时，可得到${\lambda }_i>0$。

个人理解：对于$x\ne 0$，其$y^T\wedge y>0$的情况下，$y^T$和$y$都不等于0。且$y^T$和$y$相乘都为正，所以$\wedge$的值应大于0，即所有的${\lambda }_i$>0。

同理可推出半正定矩阵中的特征值。
假设$A$矩阵为半正定矩阵，则所有特征值≥0;

3.半正定矩阵

上面已经介绍了半正定矩阵，下面证明协方差矩阵是半正定矩阵。
首先先理解什么是协方差矩阵
设$Y=[(y_1,y_2,y_3,\dots ,y_n){]}^T$为$n$维随机变量，称矩阵为

要证明$\sum$为半正定矩阵，需要证明对于任意$Y=[(y_1,y_2,y_3,\dots ,y_n){]}^T$为$n$维随机变量，有$Y^T\sum Y\ge 0$。

先计算Y^T∑部分


在把$X$加进去，计算$Y^T\sum Y$部分
假设

由此我们可以得到：$Y^T\sum Y=E(W^2)>0$

所以我们可以理解了在概率机器人中多元正太分布的密度函数：

其中，μ数均值矢量，∑是一个半正定矩阵也称协方差矩阵。