题目：Multi-view clustering by non-negative matrix factorization with co-orthogonal constraints
一、创新点
和其他使用NMF的方法一样，这篇文章也是加约束，使创造出来的representation matrices更好。这篇文章加的约束叫做co-orthogonal constraints（联合正交约束）。
二、论文的思想
这篇文章的前置文章是Diverse Nonnegative Matrix Factorization for Multi-view Data Representation。这里大概说一下这篇前置文章的思路。
里面有一张图画得很好：
这里的多视图融合策略采用了将表征矩阵直接平均相加的方法。再用k-means等单视图聚类算法对H*进行聚类。这就要求：
- 每个视图的表征矩阵形状一样
- 各个视图在进行表征的时候，就应该有所交流。
这篇文章着重注意了视图之间的diversity，也就是差异性。以前的表征方法，每个视图只管自己，在H1出现过的表征信息有可能又会在H2中再次出现，这就造成了信息冗余。按照常理，H1挖过的信息，H2不应该再挖，没有意义。所以，应该保证H(1)和H(2)的对应列有差异。如图中，Existing approaches中间的那两个绿色矩阵的最后一列，特征分布是差不多的，但是在DiNMF中就错开了。这种让矩阵对应地方错开的数学方法，叫做正交。
明白了这个思想，我们再来看NMF-CC算法。
三、目标函数的构建
这个算法的目标函数很长，用了整整五个项，四个约束项，每个约束都代表了不同的思路。我们一个一个来看。
1.第一项
这项没什么好说的，就是标准的NMF。X是原数据矩阵，V是representation matric。剩下的几项都是为了让V的效果更好。
2.第二项
两个矩阵相乘以后秩的总和，其实就是把两个矩阵对应的每一个元素相乘，然后再把乘积加起来。将这个“和”最小化可以让两个矩阵错开，对应元素一个有值，一个为0.
而这里的矩阵是两个视图的representation，最小化他们乘积的秩可以让两个视图之间挖取的信息有差异。
3.第三项
原数据X=UV。我们一般用V代表representation。但既然原数据是两个矩阵相乘得来的，那么U其实也是包含了信息的，是可以利用的。怎么利用呢？作者说根据参考文献【28，31】证明，如果U的列向量之间越独立，那么V的表征效果就越好。为什么？比如， X 11 X_{11} X11是由U的第一行和V的第一列点乘得到。如果U的列向量之间越独立，U的第一行的元素会越正交，V的第一列有用的元素会越少。U的列相互独立，就是要最小化
写成矩阵形式：
括号中的第一项是指U中每一列都和其他列算一个向量的乘法，包括自己。因为多算了自己和自己的乘法，所以要减掉，也就是第二项。因为某一项和另一项算乘法之后，另一项也会和某一项再算一遍，所以就多算了一次，要乘1/2。
4.第四项
作者没有给任何的过程，但在其他论文里边已经应用过了。我把MvDGNMF里边的过程贴到这这边。
H是representation，D-W是一个拉普拉斯矩阵。这里的W采用的是0–1 weighting strategy。如果i点属于j点的第q个邻居之内，那么Wij就为1，否则为0。注意，这里的W算的是原始点X。
从下往上倒推，第一排公式的意思是，距离更近的X所转化为的H应该更相似。
5.第五项
V同自己转秩的乘积矩阵靠近单位矩阵I，意味着，V中的每一个行向量都会尽量和其他行向量的对应的元素错开。
如图V1和V2种，每一列都只有一个小黑点。这样可以让每一个X的表征都尽量用更少的特征进行表示，更大程度地减少了冗余信息，只留下最重要的，让表征更干净，更简洁。
