一、NMF的本质

1.当数据完全一样时

# 将如下数据的行向量用NMF降到3维，初始化策略全部用nndsvd，不能用random，下同
X=np.array([[5,5,5,5],[5,5,5,5],[5,5,5,5],[5,5,5,5]])

结果是这样的：
在这里插入图片描述

2.当数据分布全部递增时

# 原数据
X=np.array([[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4]])

结果是这样的：
在这里插入图片描述
可以得出结论：

当原数据分布完全一样时，降维后数据的特征分布会全部趋向于第一个特征。

3.分布一样，将数字增大

# 原数据
X=np.array([[10,20,30,40],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4]])

结果是这样的：
在这里插入图片描述
可以得出结论：

在分布相同的情况下，原数据的数字越大，降维后数据的数字也越大

4.三个分布相同，第四个有差异

# 原数据
X=np.array([[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,5]])

结果：
在这里插入图片描述

第4个数据在第一个特征的基础上还增加了第二个特征1.31，比例为1：0.79。
其他三个数据全都只有第一个特征。

5.将5改成6

X=np.array([[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,6]])

结果：
在这里插入图片描述
可以看到，降维后的第四个数据的第二个特征变大了，变为1.87，比例为1：1.13。

6.当把6增加到10

# 原数据
X=np.array([[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,10]])

结果：
在这里插入图片描述
反而是前三个数据多出了特征二。

可以得出结论：

NMF会先找原数据的主流分布。这个主流分布受数量和大小的影响。比如实验4中，主流分布就是前三个数据的分布。而在实验4中，当第四个原数据的最后一位增加到10之后，虽然他只有一个人，但他比其他三个人的数据都要大，就得听他的，主流分布就是他的分布。

原数据越偏向于主流分布，降维后的数据就越趋向于一个特征；
反之，就会出现第二个特征。

7.把后两个数据全部搞乱

# 原数据
X=np.array([[1,2,3,4],[1,2,3,4],[2,2,1,4],[2,3,1,0]])

结果：
在这里插入图片描述
可以看到这时候的分布已经比较混乱了。前两个数据无疑是主流分布，但他们的优势已经不不大了，所以他们也出现了少许的第二特征：0.00886。
后面两个特征相对于主流分布来说已经比较混乱，所以分别出现了第三和第二特征。

NMF降维的本质

先定主流分布，取决于各个数据分布的数量以及数据的相对大小之间的博弈。某一分布的数据越多，越有可能成为主流分布；该数据的值越大，越有可能成为主流分布；
和主流分布越相似的原数据，降维后的特征会趋向于特征一。反之会出现更多的特征；
和主流分布有小的差异，但有差异的部分差得特别大的分布（如实验6），则降维后的数据，特征数量不一定多，但特征一和其余特征的比值会很大；

二、以鸢尾花数据为例进行分析

将鸢尾花数据用NMF降到2维，提取矩阵W：
在这里插入图片描述
很明显第3、4个原特征被列为了主流分布，我们还观察到第1个原特征和第2个原特征，其降维后的特征的比例分别是：
5.63:3.43
2.22:2.49
很明显第一个比值更大，也就是说第1个原特征和第3、4个特征的分布更相似。我们知道对于鸢尾花数据，其第3、4个特征的效果是更较好的，所以第一个原特征应该好与第二个原特征才对。