如何确定抽样的样本数量

article/2025/3/15 8:50:04

总体为9200人，预设的整体置信度为95%，最大容许误差为正负5%，求样本容量

网上搜到的第一个有价值的内容如下：

题目

某公司对60000人中的吸烟比例做调查,置信度为95%的情况下,若要使误差保持在4%以内,需要的最小样本容量是
这里并没有告诉总体的方差（标准差）和样本方差（标准差）,那到底应该怎样做呢?
还有第二问：
已知比例在10%-20%,要使误差保持在5%以内,求需要的最小样本容量?

优质解答

第一问：
当方差未知的情况下,通常取最大值.已知方差S的平方（这里打不出平方,就用文字表示了）=p*（1-p）,当p=0.5的时候,S的平方值最大,等于0.25,即取方差为0.25.所以,样本量n=（Z的平方*S的平方）/E的平方,带入数值（置信度为95%时,Z=1.96,）得：n=(1.96*1.96*0.25)/(0.04*0.04)=600.25,即最小样本量为601.
第二问：
据题意,当比例为10%时,方差最小,方差S的平方=0.1*（1-0.1）=0.09,此时,所需样本量最小,
带入数值得：n=(1.96*1.96*0.09)/0.05*0.05)=138.3,即最小样本量为139.
同理,当取20%时,最小样本量为246,明显139

上文中使用的抽样数量计算公式如下。

$\120dpi n\approx\frac{({z_{\alpha /2}})^{2}{\sigma}^2}{E^2}$ ，但是在实际使用中西格玛的平方往往是未知的，因此上文中用p(1-p)代替

n：为样本量；
$\fn_jvn \120dpi {\sigma}^2$ ：方差，抽样个体值和整体均值之间的偏离程度，抽样数值分布越分散方差越大，需要的采样量越多；
E：为抽样误差（可以根据均值的百分比设定），由于是倒数平方关系，抽样误差减小为1/2，抽样量需要增加为4倍；
$\fn_jvn \120dpi ^{z_{\alpha/2}}$ : 为可靠性系数，即置信度，置信度为95%时， $\fn_jvn \120dpi ^{z_{\alpha/2}}$ =1.96，置信度为90%时， $\fn_jvn \120dpi ^{z_{\alpha/2}}$ =1.645，置信度越高需要的样本量越多；95%置信度比90%置信度需要的采样量多40%；

随后又搜索到一篇有价值的参考资料：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a032adb90101fp1p.html

但是，如果按照上述文章中的方法进行计算，都没有用到总体数量9200这个条件，感觉不对，所以继续搜索

最终发现，上述各篇文章都是应用的总体无限的的抽样公式，如果总体有限，则应按照如下方法计算：

作者：知乎用户
链接：https://www.zhihu.com/question/23017185/answer/23871782
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

具体到某个研究要多少样本，就要根据误差和置信度去计算了。具体计算公式是：n=1.96^2*P(1-P)/E^2. 其中E是误差，P是估计的总体比例，1.96是置信度为95%的标准值

---------补充----------

感谢

@Detian Deng

补充！最近在做一些人口属性方面的统计工作，主要涉及到的是性别比例，对统计学上的相关知识也是现学现用，所以也想探讨一些问题：

1. 在大样本抽样中，样本比例p的抽样分布可以按照正态分布逼近。在我的之前的回答中，n=1.96^2*P(1-P)/E^2 其实只是有放回抽样情况下对样本量的计算，因为此时样本比例p服从期望E(p)=P，方差V(p)=P(1-P)/n 的正态分布，根据区间估计，有E=1.96*V(p)^2，以此可以求得n。而在无放回抽样中，样本比例p的方差是V(p)=(N-n/N-1)P(1-P)/n，同样的求解方式，样本量n=1.96^2*P(1-P)/(E^2+1.96^2*P(1-P)/N)，但此时，样本量n的大小就与总体量N有关了。是这样吧？

2. 无论是区间估计，还是求样本量，中间都用到了总体比例P。但是明明求这个总体比例P是我们抽样的目的，所以在我们求n和置信区间时，涉及到P我们往往都用一个以往统计的总体比例值作为参考。因此，从这些公式中可以发现，我们对总体比例的估计，是根据1）以往统计的总体比例；2）抽样样本的比例。是这样吧？

以上内容来自于知乎的如下问题：

https://www.zhihu.com/question/23017185

按照上述方式计算的结果是368.76,；按照无限总体计算的结果是384.16.

另外，还发现了一个计算抽样数量的网址，可以在线计算：

https://www.surveysystem.com/sscalc.htm

其中的confidence interval填写容许误差的一半（不要百分号），例如，本题中容许误差为正负5%，所以，confidence interval填5。这个网站计算出的结果是369，与我们的计算结果一致