需求定律公式和需求弹性推导——《可以量化的经济学》

消费者利益（商品的价值）与购买量正相关，消费者利益越大，购买量越多；商品的价格与购买量负相关，价格越高，购买量越少。消费者盈余=消费者利益-商品的价格，所以消费者盈余与购买量正相关。设商品的价值为B（Benefit），商品的价格为P（Price），消费者盈余为S（Surplus），购买量为Q（Quantity），消费者盈余转化为购买量的函数为K，则

Q=K(B-P)

将此公式称为需求定律公式或需求公式。

图5-1 需求曲线

在横坐标为需求量Q，纵坐标为价格P的坐标系中，DD为需求曲线。价格P为0时的需求量为KB，价格P为B时的需求量为0（如图5-1所示）。

以系统框图表示如下（如图5-2所示）：

图5-2 需求定律系统思考框图

当价格P下降时，消费者盈余S=(B-P)上升，由需求定律公式Q=K(B-P)可以得到购买量Q上升；当价格上升时，消费者盈余下降，所以购买量上升。当消费者利益B（商品的价值）上升时，消费者盈余S=(B-P)上升，所以购买量Q上升；当消费者利益（商品的价值）下降时，消费者盈余下降，所以购买量下降。对于大多数商品，消费者利益（商品的价值）是固定的，所以才有价格下降，购买量上升的一直的反向关系。消费者盈余转化率K在市场中的表现形式被称为市场营销，即在消费者利益和价格不变的情况下，改变消费者盈余转化率K，也可以改变购买量。

影响需求量变化的三个因素

（a）消费者利益变化引起需求曲线平移

原香烟的需求曲线为D₁D₁，消费者利益为B₁，需求曲线与坐标轴的交点分别为KB₁和B₁。限制吸烟的政策使消费者的利益从B₁降低到B₂，新的需求曲线向左移动，与坐标轴的交点变为KB₂和B₂。在相同的价格2美元每包烟的情况下，香烟的需求量从每天20支下降到每天10支（如图5-3所示）。

图5-3 需求曲线的平移

（b）价格变化引起需求量变化

税收的增加使香烟的价格从2美元每包上升到4美元每包，消费者的需求沿需求曲线从A点移动到C点，需求量Q从20支每天下降到12支每天（如图5-4所示）。

图5-4 沿需求曲线变动

（c）盈余转化率K的变化引起需求曲线的变化

原香烟的需求曲线为D₁D₁，消费者利益为B，需求曲线与坐标轴的交点分别为K₁B和B。营销（或其他原因）使盈余转化率从K₁增加到K₂，新的需求曲线与纵轴的交点仍为B，与横坐标的交点从K₁B增加到K₂B。在每包烟价格2美元，消费者利益为B的情况下，香烟的需求量从每天20支上升到每天24支（如图5-5所示）。

图5-5 需求曲线转化率变化

管理学家彼得•德鲁克说：“企业的宗旨是创造顾客，所以企业有且只有两项基本职能：创新和市场营销。创新不等同与发明。创新是一种经济上的术语，而非技术上的术语。”创新是指创造更大的消费者盈余S，而市场营销是指增加消费者盈余转化率K，从而增加购买量。企业创造了消费者盈余（B-P），通过市场营销增加了盈余转化率K，进而创造了购买量Q=K(B-P)，则企业实现了自己的宗旨：创造顾客。所以，有三种因素会影响购买量，消费者利益（商品的价值），商品的价格和盈余转化率而不是传统需求定律所说的价格决定购买量。

如果将单个产品的利润设为I（Interest），产品的成本设为C（Cost），则I=P-C。结合需求定律公式Q=K(B-P)，总利润T（Total）等于购买量乘以单个产品的利润，即T=QI=K(B-P)(P-C)。总利润曲线是一条以价格P为自变量的抛物线，当价格P为(B+C)/2时，企业获得利润最大值为K(B-C)²/4。

对于传统需求定律，它遇到了3种物品的挑战，奢侈品，吉芬物品和投机品，这三者的价值是随价格的变化而会发生变化的。

需求弹性是需求定律的一个数学推论，是需求定律的微分形式。需求弹性等于盈余转化率与基础值的乘积。即

需求的价格弹性（price elasticity of demand），有时称价格弹性（price elasticity），价格弹性为英国新古典派经济学家阿尔弗雷德•马歇尔所创立。衡量的是：当一种物品的价格发生变动时，该物品需求量相应变动的大小。价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分比。即

此公式前有负号，表示价格与需求量负相关。为方便起见，经济学书籍将价格弹性公式前的负号去掉，让所有的弹性都表现为正值，即：

推导过程：

需求定律公式为Q=K(B-P)，通过数学对价格P求微分，K也可以看做常数，对应不同的消费者盈余(B-P)，K为不同的常数。所以有：

两边同时除以ΔP，并且乘以P/Q，得

对比价格弹性公式，得到：

其中B(ΔP)为价格变化对消费者利益的影响，是消费者利益关于价格的函数。

由于对于大多数商品（吉芬物品，奢侈品和投机品除外，价格变化时，此三种产品的消费者利益也发生变化），消费者利益B不随价格改变而改变，在这种情况下，B(ΔP)等于0，所以得到

由于P/Q为基础值，是常数，所以需求弹性等于盈余转化率与基础值得乘积。K等于-ΔQ/ΔP，K为正值。

经济学定义，如果价格变动1个百分点引起的需求量变动超过1个百分点，则该物品就富有需求价格弹性。如果价格变动1个百分点引起的需求量变动不足1个百分点，则该物品就缺乏需求价格弹性。如果价格变动1个百分点引起的需求量变动等于1个百分点，则该物品就拥有单位需求价格弹性。

假设某一物品一直具有单位弹性，价格基值P为100元，此时的需求量Q为200个（假设价格变化对消费者利益B没有影响）。则价格上涨1%，即价格为101元时，需求量也下降1%，即需求量为198个。从而得到K=--ΔQ/ΔP=-(198-200)/(101-100)=2。由于假设此物品为单位弹性，所以K值为常数2不变（如图5-6所示）。

带入需求定律公式Q=K(B-P)，可得到B=200。所以可以根据不同的价格求得需求量Q=2×(200-P)。

图5-6 需求弹性

从表得到，当基值P=101，Q=198时，价格弹性从1变为0.9802（绿色部分）；当基值P=102，Q=196时，价格弹性从0.9802变为0.9608
（黄色部分）；所以，基值选择不同价格弹性不同（如表5-1所示）。

表5-1 需求弹性

价格不会一直下降，价格以成本为下限；购买量不会一直上升，购买量以总需求为上限。

由于弹性与物理学的弹簧的胡克定律类似，我们来分析两者之间的类同关系（如图5-7所示）。

图5-7 弹簧伸长量与拉力关系

在物理学中，胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=-k·x或△F=-k·Δx。k是物质的弹性系数，它只由材料的性质所决定，与其他因素无关。负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。其中弹性系数k=-ΔF/Δx，为因变量增量与自变量增量的比值，这一点与经济学弹性定律的盈余转化率K相同，K=-ΔQ/ΔP，K为需求量增量与价格增量的比值。经济学中的需求弹性是一个变化百分比的定义，经济学中增加了基值P/Q，用来表示当前的变化是针对什么价格P和需求量Q的，这一点相当于在胡克定律k=-ΔF/Δx左右同时乘以x/F，即同时乘以一个基值x/F，即得到k×x/F=-k=-ΔF/Δx×(x/F)，可以发现此时的公式与需求定律的弹性公式定义完全相同。不同基值类似于选择弹簧测量起点的不同。

弹性系数k和盈余转化率K的大小

在弹簧（或者其他材料）的弹性范围内，弹性系数k不变，为比例系数，当超过此比例范围，弹性系数k值发生改变，如下图所示。需求弹性类同，在某一范围内，盈余转化率K值不变，超过此范围，K值改变（如图5-8所示）。

图5-8 弹簧的胡克定律

需求定律公式Q=K(B-P)是广义动量定理Fαt=nmV的简化。

在需求定律公式Q=K(B-P)中，利益B是动力，价格P是阻力，而B-P为合外力F。力量的终极来源有暴力，财富和知识，而需求定律公式中的的主要力量是财富，是财富这个合力产生成果。数量Q对应广义动量定理中的n。将需求定律公式完整化，得到完整需求定律公式(B-P)Kt=QmV。B-P为合力F，K对应α，Q对应数量n，m表示产品的品类，质量等。在完整需求定律公式中，速度V表示某一产品m的销售速度。完整需求定律公式表示的是力量B-P在时间t上的积累效应。合力B-P越大，时间t越长，成果QmV越大。针对某一产品m，m不变，表示品类，品质等不改变。在完整需求定律公式中，增加消费者利益B，减少成本P，增加力量的方向准确性即盈余转化率，增加力量打击作用点的准确性（定位理论就是增加打击点的准确性来增加成果），增加时间t都可以增加成果QmV。完整需求定律增加了时间t因素，使经济学具备了动态因素。广义经济学的本质也是广义动量定理。

在生产企业追求的主要目标中，我们论述过生产速度V是企业追求的主要目标，而在经济学中，销售速度V是企业追求的主要目标。在经济学当中，有3个主要的速度，消费速度，销售速度和生产速度。当销售速度大于消费速度，即消费者的购买速度大于消费速度时，在消费者处会产生库存，产生的库存是负债。购买速度大于消费速度越大，时间越长，库存累积越多，消费者一般会对消费品保持一个安全的库存，每个人对每种产品保持的库存不同，当小于安全库存时，消费者会购买补货，当大于安全库存时消费者会停止购买，这是负反馈模型，与精益生产中的负反馈道理相同。安全库存可以是一个定值，也可以是一个范围。比如一个家庭将20-50斤大米作为自己家庭的安全库存，当大米小于20斤时开始购买大米，当大于50斤大米使就停止购买。当生产速度大于销售速度时，企业会产生库存，生产速度比销售速度大的越多，时间越长，企业累积的库存量越多。库存对于企业和个人都是成本，库存越大，成本越高。但是适当的库存是为了应对墨菲效应，防止在扰动时影响生产或消费。在战争中，人们普遍增加储备，即增加库存，那是因为战争中的不确定因素增加，即扰动因素增加，难以保证上游的正常供应，所以人们需要增加库存。

为什么库存是成本呢？

产生库存这个成果需要力量F，而产生的成果也是一种力量，力量只有被使用才能产生成果MV，而库存的力量没有被使用，即没有在时间t上产生应有的积累效应，速度V为0。如果将产生库存的力量用于可以被进一步使用的地方，使成果有速度，则相对于库存来说，这个力量可以产生更大的成果。

库存累积的越多，未来需要的数量越少。凯恩斯说有效需求不足导致就业不足。从广义动量定理Fαt=MV的角度说，消费速度如果小于生产速度较多，就是有效需求不足。而生产速度大于消费速度越多，则生产实际需要的劳动力越少，因为超出消费速度的产量将不能被卖出。创新增加了人类需求的种类，从而增加了有效需求。在一个有效需求增长较小的世界中，生产和管理上的进步会增加产出成果MV，而如果有效需求增加速度小于产出成果的增加速度，必然导致生产速度越来越大于消费速度，所以就需要越少的人来生产产品，导致其他人失业，即就业不足。