海明校验码的计算及检验

知识背景

百度百科： “由Richard Hamming于1950年提出、还被广泛采用的一种很有效的校验方法，是只要增加少数几个校验位，就能检测出二位同时出错、亦能检测出一位出错并能自动恢复该出错位的正确值的有效手段，后者被称为自动纠错。”

我们知道，通常情况下使用奇偶校验法可以识别数据是否发生错误，但是并不能知道是哪里的数据发生了问题。有了这个前提，于是我们观察到海明校验码，它增加很少的几个校验位来检测出出错数据的位置，其检测原理概述如下：

百度百科： “它的实现原理，是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k+r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。”

现在看来或许还是比较不容易看懂，接下来我用过一个做过的实验题目来分析。

计算海明校验码

首先介绍一下海明校验码公式： $2^k >= n + k + 1$

公式中，k为校验码的位数，n为原数据的位数。

$2^k$ 表示这 $k$ 位能够表示的状态数，因为每一个校验码都有0或1两种可能，那么和原数据组合产生的状态数量就是 $2^k$ 种，在这么多种可能中有一种状态代表正确校验的情况，而剩下的 $2^k-1$ 种状态就用来对应错误校验的情况。

这 $2^k-1$ 种情况最起码要比总位数（原数据位数+校验码位数）多，所以就得到 $2^k-1>=n+k$

通过这个公式，我们就可以计算出一个已知原始数据所需要的最小校验位数。下面举一个我做过的一个实验题目作为例子：

下标	4	3	2	1
数据	0	1	1	0

步骤一：计算校验码位数

这一原始数据 $0110$ ， $n = 4$ ，根据海明校验码公式可以得到需要添加的校验码位数 $k = 3$

有话说： 校验码放置的位置应为2的整数次幂，即 $P_{i}=2^i$ .

于是我们得到了这样一个待计算的海明码：

下标	7	6	5	4	3	2	1
数据	0	1	1	$P_{2}$	0	$P_{1}$	$P_{0}$

其中， $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 为三个我们添加的校验码

步骤二：确定校验组

接下来我们为每一个数据添加校验组，校验组是什么意思呢，就是这一下标对应的数据可以由一个校验组来唯一对应检验。通俗地讲，做法就是将每一个数据位的下标分解成校验码所在下标的和，（校验位不分解），拿我们的例子来看看：

下标	7	6	5	4	3	2	1
下标分解	1+2+4	2+4	1+4	4	1+2	2	1
数据	0	1	1	$P_{2}$	0	$P_{1}$	$P_{0}$
校验组	$P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$	$P_{1}$ 、 $P_{2}$	$P_{0}$ 、 $P_{2}$	$P_{2}$	$P_{0}$ 、 $P_{1}$	$P_{1}$	$P_{0}$

有话说： 例如下标5还可以分解成2+3那为什么不选2+3呢？这是因为下标3是数据位而不是校验位，所以这里我们选的是1+4的分解。

这样一来，每一个数据都可以由唯一确定的校验组来校验

步骤三：计算校验码的值得出海明校验码

计算海明校验码的最后一个步骤就是得出 $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 的具体值，其做法为：
计算 $P_{i}$ 的值，就在校验组中将与 $P_{i}$ 有关的那几组数据做 异或（相同为0，不同为1） 运算
拿我们的例子来看看：

下标	7	6	5	4	3	2	1
数据	0	1	1	$P_{2}$	0	$P_{1}$	$P_{0}$
校验组	$P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$	$P_{1}$ 、 $P_{2}$	$P_{0}$ 、 $P_{2}$	$P_{2}$	$P_{0}$ 、 $P_{1}$	$P_{1}$	$P_{0}$
有关下标				5 6 7		3 6 7	3 5 7
运算				$1\oplus1\oplus0$		$0\oplus1\oplus0$	$0\oplus1\oplus0$
结果				0		1	1

计算结束后，和原来的数据组合我们就得到了海明校验码：

下标	7	6	5	4	3	2	1
数据	0	1	1	$P_{2}$	0	$P_{1}$	$P_{0}$
海明校验码	0	1	1	0	0	1	1

利用海明校验码校验数据

接下来我们利用海明校验码来校验数据：
例如我们有一个待检测的数据：

下标	7	6	5	4	3	2	1
数据	0	0	1	0	0	1	1

由上文所讲，校验码的值是由与之相关的数据异或得到，例如： $P_{0}=0\oplus1\oplus0=1$ ,所以如果这个校验码的值没有改变，即 $P'_{0}=P_{0}$ ，那么我们可以得到的就是 $P'_{0}\oplus P_{0}=0$ ，反之，若 $P'_{0}\oplus P_{0}=1$ 我们就可以判定该校验位所能够影响的几个位置存在错误。其中 $P'_{0}$ 为待检测数据按上述同样方法计算的校验码的值。以上述待检测数据为例:
$P'_{0}\oplus P_{0}=0\oplus1\oplus0\oplus1=0$ 正确
$P'_{1}\oplus P_{1}=0\oplus0\oplus0\oplus1=1$ 该校验位能影响的位置存在错误
$P'_{2}\oplus P_{2}=1\oplus0\oplus0\oplus0=1$ 该校验位能影响的位置存在错误

下标	7	6	5	4	3	2	1
数据	0	0	1	0	0	1	1
校验组	$P'_{0}$ 、 $P'_{1}$ 、 $P'_{2}$	$P'_{1}$ 、 $P'_{2}$	$P'_{0}$ 、 $P'_{2}$	$P'_{2}$	$P'_{0}$ 、 $P'_{1}$	$P'_{1}$	$P'_{0}$
有关下标				5 6 7		3 6 7	3 5 7
$P'_{i}$				$1\oplus0\oplus0=1$		$0\oplus0\oplus0=0$	$0\oplus1\oplus0=1$
$P_{i}$				0		1	1
$P'_{i}\oplus P_{i}$				1		1	0