• 统计推断的基本问题有二：估计问题，和假设检验问题.
• 本章讨论总体参数的点估计和区间估计.理解这两种估计的思想，掌握求参数估计量的方法和评判估计量好坏的标准.

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点估计

问题的提出

设灯泡寿命$T～ N (\mu,\sigma^2)$，但参数$\mu$和$\sigma^2$未知. 现在要求通过对总体抽样得到的样本，构造两样本函数分别$\mu$和$\sigma^2$作出估计,称为估计量, 记为$\mu^\prime$和$\sigma^{2\prime}$,代入观察值$x =(x_1,…,x_n)$，得相应估计值.在不致混淆时统称为估计.
借助于总体的一个样本，构造适当的样本函数来估计总体$S$未知参数的值的问题称为参数的点估计问题.
• 两种常用的构造估计量的方法: 矩估计法和极大似然估计法.

矩估计

思想与方法

设总体k阶矩存在，
对于连续型总体X，它的m阶原点矩为

$$\mu_k:=E(X^k)=\int^{+\infty}_{-\infty}x^kdF(x,\theta)$$
若X为离散型的，则

$$\mu_k:=E(X^k)=\sum_{i=1}^nx^kF(x,\theta)$$
这里 $\theta$为未知参数向量. 可见 $\mu_k$是 $\theta$的函数，改记为 $\mu_k(\theta)$ .

设测得10个灯泡寿命(失效时间)分别为

$$166，185，232，242，264，\\ 268，270，275，285，312$$ (小时）.
那么自然想到平均寿命为
$$(166 +185 +... + 312) / 10 = 249.9（小时）$$
即用样本均值的观测值 $\overline x$来估计总体的平均寿命(期望寿命) $\mu$
即
$$\hat{\mu}=\overline X=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\dots+X_n)$$
对 $\mu_k(\theta)$,k阶样本原点矩为
$$\hat{\mu_k}(\theta)=M_k=\frac{1}{n}(X_1^k+X_2^k+\dots+X_n^k)$$
这就是矩估计的思想：
用样本的k阶矩作为总体k阶矩的估计量.如果未知参数有m个，则可建立m个方程
$$\hat{\mu}_k(\theta_1,\dots,\theta_m)=M_k,k=1,\dots,m$$
(如总体 $\mu_m$存在). 从中解出 $\theta_j=\theta_j(X_1,X_2,\dots,X_n)$, 改记为 $\hat{\theta}$,并作为 $\theta_j$的估计量. 称这种估计量为 矩估计量, 相应观察值称为 矩估计值.
由上一篇文章讲得经验df函数性质可以知道
样本矩几乎处处收敛于总体矩，

• 样本矩的连续函数也几乎处处收敛于总体矩的相应的连续函数,它保证:几乎每次从容量足够大的样本观测值，都可得到相应总体参数的近似值.

例题1

设总体$X$的二阶矩存在，求总体$X$的期望和方差的矩估计量.
解：
$m=2$，可得

（将 $\hat{\mu}和\hat{\sigma}^2$当做未知量，将 $X_i$当做已知量，解方程组）
解得

结论：不论总体有什麽样的分布，只要它的 期望和 方差存在，则它们的矩估计量都分别是其样本均值和样本的二阶中心矩.
为突出是矩估计量，也常加下标M，例如 $\hat{\mu}_M$

例题2

设总体$X ～ U(0, \theta)$, $\theta$未知，$(X_1,…,X_n )$是一个样本, 试求$\theta$的矩估计量.
解:
直接由上例结果，令解得$\theta$的矩估计量

$$\hat{\theta}_M=2\overline X$$

例题3

设总体 ，即 具有概率密度

这里a，b为未知参数， $(X_1,X_2,\dots,X_n)$为抽自X的简单随机样本
由于 $E(X)={a+b\over 2},\ D(X)={(b-a)^2\over 12}$
令

由此可解得a和b的矩估计为
$$\hat{a}=\overline X-\sqrt{3}S_n\\ \hat{b}=\overline X+\sqrt{3}S_n$$
其中 $S_n^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$

极大似然估计法

思想和方法

假设在一个罐中放着许多黑球和白球，并假定已知它们的数目之比为 ，但不知哪种颜色的球多。如果我们有放回地从罐中抽取 个球，则其中的黑球数 服从二项分布：

$$P(X=k)=C_3^kp^kq^{3-k},k=0,1,2,3$$
其中 p=罐