点估计和区间估计

点估计

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矩估计法

正态分布是一种统计量，目的是描述总体的某一性质。而矩则是描述这些样本值的分布情况，无论几阶矩，无外乎是描述整体的疏密情况。K阶矩分为原点矩和中心矩：

前者是绝对的：1阶就是平均值；2阶则是平方的平均值；3阶是立方的平均值，如此类推。

后者是相对于平均值而言：1阶即期望；2阶即方差的估计；如此类推。

原点矩

${\mu }_k^{\prime }=E(Y^k)$  (k=1，2，…)

中心矩

${\mu }_k=E[(Y-\mu {)}^k]$

k表示阶数

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原点矩方法

对于总体：原点矩-$E(Y^k)$

对于样本：$m_k=\frac{{\sum }_{i=1}^n{y}_i^k}{n}$

Y:观测值

举例：

$y_1,y_2,y_3,...y_n$代表一个随机样本的n个观测值，随机变量Y代表总体的分布，随机变量Y中有${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3,...{\theta }_k$k个参数，矩估计需要估计出k个参数${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2,{\hat{\theta }}_3,...{\hat{\theta }}_k$

$\hat{\theta }$: $E(Y)=\frac{1}{n}\sum y_i$

${\hat{\theta }}_2$: $E(Y^2)=\frac{1}{n}\sum {y_i}^2$

一个参数使用一个方程，若K个参数则使用K个方程。求总体的平均值只有一个参数，使用一个方程就可。

假设：总体的期望为μ
则有E(Y)=μ

假设只有一个参数

此时使用矩估计的方法，只有一个参数，即使用一个方程：

Y的一阶原点矩${\mu }_1^{\prime }=E(Y^1)$既他的期望本身${\mu }_1^{\prime }=E(Y^1)$=μ

样本的一阶原点矩，既样本求和：$\mu =\frac{1}{n}\sum y_i$

这时发现公式似乎很眼熟：
$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum y_i$
平均值不就是这么来的么。

当有两个参数时呢

可以设置第二个参数$E(Y^2)=\frac{1}{n}\sum {y_i}^2$

然后结合第一个式子用两个方程求解。

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中心矩方法

其他参考上文

对于样本公式： $\frac{\sum (y_i-\bar{y}{)}^k}{n}$

其他方法

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最大似然法/极大似然法，最小二乘法，刀切法，稳健估计，Bayes方法

区间估计

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区间估计是一个区间，区间分别由Lower和Upper构成–>(Lower,Upper)称为置信区间，其中包含着被估计参数的概率称为置信水平/置信系数[概率]
如置信水平为95%，那么这个区间也叫95%置信区间。

虚轴法

假设有一个估计量$\hat{\theta }$，$E(\hat{\theta })$=θ,即$\hat{\theta }$的期望=θ，θ为要估计的参数。
$$Z=\frac{\hat{\theta }-\theta }{{\sigma }_{\hat{\theta }}}$$

假设Z符合正态分布，整个正态分布图的面积为1，
阴影部分的面积为0.05，非阴影部分的面积则为1-0.05=0.95

可以将面接还原成概率，整体的概率为100%，那么Z落在非阴影区域的概率便为95%。
Z–>($-Z_{\alpha /2}$,$Z_{\alpha /2}$)即($-Z_{\alpha /2}$≤Z≤$Z_{\alpha /2}$)

在分布中，阴影部分的面积为α，空白区域即为1-α，分布的两翼阴影面积各为α/2，所以有Z=1-α：可推出如下公式。

LCL=$\hat{\theta }-z\frac{\alpha }{2}{\sigma }_{\hat{\theta }}$  UCL=$\hat{\theta }+z\frac{\alpha }{2}{\sigma }_{\hat{\theta }}$

所以确定了如下步骤：

• 确定统计量θ
• 确定概率分布（利用概率密度函数）
• 求置信区间

同理,如果是卡方分布，t分布也可以依照相同的理论求值。