点估计及矩估计的一些理解

article/2025/8/23 0:43:53

       点估计指的是用样本统计量来估计总体参数,因为样本统计量为数轴上某一点值,估计的结果也以一个点的数值表示,所以称为点估计。在这个定义中,总体参数也即是总体分布的参数,一般我们在讨论总体分布的时候,只有在简单随机样本(样本独立同分布)情况下才有明确的意义,总体分布才能决定样本分布,所以下文样本中各随机变量均为独立同分布。在大数据中分析中,一般都假设样本是独立同分布的。

       矩估计方法是点估计中的一种,其原理就是构造样本和总体的矩,然后用样本的矩去估计总体的矩。设有样本X_{1},...,X_{n},而k为自然数,则样本矩做如下定义

                                                                          a_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X^{k}_{i}

                                                                         m_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X}_{n})^{k}

        其中a_{nk}称为k阶样本原点矩m_{nk}称为k阶样本中心距\bar{X}_{n}为样本均值。a_{nk}m_{nk}可以由样本计算得到确定的值。接下来再构造总体X的矩。在使用矩估计方法时,一般要求知道总体的分布类型,这样才能构造包含待估参数的矩。

        当总体为连续分布时,设f(x,\theta )为总体分布的概率密度函数,\theta为总体分布中的待估参数(假设此处总体分布中只有一个待估参数\theta),则总体的k阶原点矩\alpha _{k}、k阶中心距\mu_{k}分别定义为如下形式

                                                                        


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