正定矩阵的性质

article/2025/10/9 8:57:22

正定矩阵的定义：若矩阵A是n阶方阵，并且它的二次型大于0，即 ${X^T}AX > 0$ ，则矩阵A是正定矩阵。

正定矩阵的性质：

正定矩阵的所有特征值都为正数。
正定矩阵行列式为正数
两个正定矩阵的和为正定矩阵（两个正定矩阵的乘积不一定是正定矩阵）
正数乘以正定矩阵结果仍然为正定矩阵
实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同
正定矩阵A的一切顺序主子式均为正
正定矩阵A的一切主子式均为正

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顺序主子式

设A为阶矩阵，子式称为A的i阶顺序主子式。 [1] 对于阶的矩阵A，其共有n阶顺序主子式，即矩阵A的顺序主子式由共n个行列式按顺序排列而成。

【矩阵论笔记】平方根分解

定义例子首先判断顺序主子式。 R矩阵每一行除以对角元平方根分解推导因为A的分解是唯一的，可以得到 L R T LR^{T} LRT 例题待定系数法

MATLAB_数值计算_用平方根法解线性方程组—（Cholesky分解)

利用对称正定矩阵的乔累斯基分解求解对称正定方程组的方法称为平方根法对称正定矩阵A的对角元为正实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有特征值为正对称正定矩阵非奇异，其逆亦为对称正定矩阵实对称矩阵A正定的充要条件是A的所有顺序主子式为正正定矩阵的顺序主子阵是正…

$正定与半正定矩阵，判别的方法不能混用，否则出错$

正定与半正定矩阵，判别的方法不能混用，否则出错

坑：特征值有0可以知道该矩阵不可能正定，那可以用顺序主子式判断是否为半正定吗？ 答案：不能例子：A,特征值为一个0，两个正数>那就是半正定啦呀但是，主子式二阶小于0那就不正定了呀两种方法…

线性代数【１１】二次型

前言： 矩阵表达的是线性关系的方程组，但是，客官世界，是包括稍微复杂的，二次方程。尤其几何中，有二次曲线，二次型，就是一个多元函数，是多个变量的二次，齐次…

Lyapunov稳定性分析1（正定函数、二次型正定判定）

一、正定函数 1.1 定义： 令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域。如果对于S中的所有x，都有： 则V(x)是正定的（半正定）。正定函数更直观的描述如下图所示： 如果条件(3&a…

牛顿法为什么要保证Hessian矩阵正定

牛顿法为什么要保证Hessian矩阵正定： 实际中，需要求出Hessian的逆矩阵，只有正定矩阵，才可以求出逆矩阵。正定矩阵：特征值全大于0；各阶主子式全大于0.

正定矩阵的相关知识

一、正定矩阵的定义：若矩阵A是n阶方阵，并且它的二次型大于0，即则矩阵A是正定矩阵。二、正定矩阵的性质： 1.正定矩阵的所有特征值都为正数。 2.正定矩阵行列式为正数 3.两个正定矩阵的和为正定矩阵（两个正定矩阵的乘…

顺序主子式的英文翻译（定义）

顺序主子式的英文翻译（定义） 为了查明顺序主子式的英文翻译，我在国内知网翻译助手、金山词霸等诸多翻译系统查了一下，给出的答案不外乎以下几个答案。 （知网翻译助手的答案） 我喜欢刨根问底，很明…

030 正定二次型及判别法之定义法、特征值法、顺序主子式法

matlab-线性代数 det 各阶主子式、余子式、代数余子式

2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> matlab : R2018a 64bit OS : Windows 10 x64typesetting : Markdown blog : my.oschina.net/zhichengjiu gitee : gitee.com/zhichengjiu 各阶主子式 code clear clca=[1 2 3;4 5 6;6 7 8…

主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式

K阶子式 [ 1 ] ^{[1]} [1] (Minor) 以3阶行列式为例： ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ \left| \begin{array} {ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right| ∣∣∣∣∣∣a1b1c1…

$简单推导：关于矩阵主子式的几点性质$