一、 正定函数

1.1 定义：

令V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域。如果对于S中的所有x，都有：



则V(x)是正定的（半正定）。正定函数更直观的描述如下图所示：

如果条件(3）中不等式的符号反向，则称V(x)是负定的（负半定的）。
如果在S域内，不论S多么小，V(x)既可为正值也可为负值时，则称 V(x)是不定的。

1.2 举例：

二、 二次型

2.1 定义：

建立在李雅普诺夫第二方法上的稳定性分析中，有一类标量函数起着重要的作用，即为二次型函数：

P为权矩阵，一般，有

则，有

即

其中P为对称矩阵，即P_ij=P_ji

2.2 二次型正定判定

塞尔维斯特（Sylvester）定理：
V(x)=x^TP**x中的P是对称阵时，V(x)为正定的充要条件是P的所有顺序主子式行列式都是正的，即

如果P的所有主子行列式为非负的(有的为零)，那么V(x)即为半正定的。如果－V(x)是正定的（半正定的），则V(x)将是负定的（半负定的）。

2.2.1 举例：

Example1：

所以V(x)正定。
Example2：

A=[1 -3.5 4.5;2 -4.5 4.5;-1 1.5 -2.5];
B=[-0.5;-0.5;-0.5]';C=[1 0 1]; %系统状态方程
Q=eye(3,3);  %Q=I
P=lyap(A,Q); %求解矩阵P
%显示矩阵P的各阶主子式的值并判断是否稳定
flag=0;
disp('矩阵P的各阶主子式的值分别为：');
for i=1:length(A)  %判断是否稳定det(P(1:i,1:i))if real(P(i)) > 0flag = 1;end
end
if flag == 1disp('系统稳定');
elsedisp('系统不稳定');
end

得到：

矩阵P的各阶主子式的值分别为：ans =1.4825ans =0.6725ans =0.1169系统稳定

求解出来的矩阵P各阶主子式均大于0，所以系统稳定（见”Lyapunov稳定性分析2（连续时间系统）“有更详细分析）