K阶子式${}^{[1]}$ (Minor)

以3阶行列式为例：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|$$

则它的3阶子式是它本身

它的2阶子式有 第1、2行和第1、2列相交处元素组成的行列式

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$$

第1、2行和第1、3列相交处元素组成的行列式
$$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|$$

等等
方法就是选取$k$行再选取$k$列 可以试着划出$2k$条线 然后相交处的元素组成的新的行列式就是 $k$阶子式

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K阶主子式 (Primary Minor)

在子式的基础上，要求子式包含的行序数和包含的列序数相同。

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顺序主子式${}^{[2]}$

由 1—i 行和 1—i 列所确定的子式即为“n 阶行列式的i 阶顺序主子式”。
例如：
1阶时：取第1行，第1列
2阶时：取第1、2行，第1、2列
3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列
4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列
实际上，主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。
值得注意的是，根据定义，i 阶主子式是不唯一的，而 i 阶顺序主子式是唯一的。

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余子式 & 代数余子式

在$n$阶行列式中，划去元$a_{ij}$所在的第$i$行与第$j$列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的$n-1$阶行列式称为元$a_{ij}$的余子式。

数学表示上计作$M_{ij}$ 。

$a_{ij}$的代数余子式 ： $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}$

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Reference:

[1] : candyngwh, https://zhidao.baidu.com/question/193409809.html

[2] : https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%BB%E5%AD%90%E5%BC%8F/2671796?fr=aladdin

[3]:

https://baike.baidu.com/item/%E4%BD%99%E5%AD%90%E5%BC%8F/1407550?fr=aladdin

图片来自:

Meyer, Carl D. Matrix analysis and applied linear algebra. Vol. 71. Siam, 2000.