周期信号的频谱及特点

频谱——信号的一种新的表示方法

1 周期信号的频谱

频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。

频谱图：将幅度和相位分量用一定高度的直线表示；其中幅度谱图反映了信号不同频率分量的大小。

三角函数形式分解

虚指数函数形式分解

引入虚指数形式(双边谱)是为了计算上的方便。

2 单边谱和双边谱的关系

• $|F_n|$是$n$的偶函数，双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。
• ${\varphi }_n$是$n$的奇函数，双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。

3 周期信号频谱的特点

$$sinx=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$$
$$Sa(x)=\frac{sin(x)}{x}$$

注意脉冲的非0即1特性，数字信号由0-1表示或变形的，可以从矩形脉冲引申过去。

正弦等于0的点：零点

零点与零点间隔为$\frac{2\pi }{\tau }$，谱线与谱线的间隔为$\frac{2\pi }{T}$

周期信号频谱的特点：
(1) 离散性：以基频$\Omega$为间隔的若干离散谱线组成；
(2) 谐波性：谱线仅含有基频$\Omega$的整数倍分量$\omega$是基波，$n\omega$是谐波；
(3) 收敛性：整体趋势减小。

谱线结构与波形参数的关系:

分析：$T$不变，$\tau$变小

• 谱线间隔$\Omega$不变
• 幅度下降
• 零点右移，两零点间的谱线数目( $T/\tau$) 增加 。

结论：$T$不变，$\tau$变小

• 时域压缩（脉冲变窄），频域展宽（频带变宽）

$\tau$不变，$T\uparrow$，幅度$\downarrow$，间隔$\Omega \downarrow$，频谱变密。

$T\to \infty$时，谱线间隔$\Omega =2\pi /T\to 0$，谱线幅度$\to 0$，周期信号的离散频谱过渡为非周期信号的连续频谱。
$T\to \infty$：得到信号一个周期内的部分，其他在无穷大以外，所以是非周期的。

收敛性分析:

(1) 振幅是收敛的：信号的能量主要集中在低频分量中。

(2) 收敛具有不同速度：信号越连续光滑，幅度谱衰减越快。

低频反映信号的主要信息，高频表现细节。

4 周期信号的功率

周期信号一般是功率信号，其平均功率为

这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;

含义：
周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和。

表明：
对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等。

频带宽度

在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度

由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。

(1) 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

宽度与脉宽成反比

(2) 对于一般周期信号，将幅度下降为$\frac{1}{10}|F_n{|}_{max}$的频率区间定义为频带宽度。

(3) 系统的通频带>信号的带宽，才能不失真。

ps:为了限制信号的幅频失真，就要求电路对信号所包含的各种频率成分都不要过分抑制，或者说要求电路容许一定频率范围的信号都通过，这个一定的频率范围称为电路的通频带。一般规定：在电路的通用谐振曲线上，比值不小于0.707的频率范围是放大电路的通频带，并以BW表示。

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
中国大学MOOC：信号与系统 ，西安电子科技大学，郭宝龙，朱娟娟