身为一名通信专业出生的我，居然淡忘了信号的基本知识，今天带大家回顾一下，通俗易懂。

信号(singal)简介

我们在生活中经常遇到信号。比如说，股票的走势图，心跳的脉冲图等等。在通信领域，无论是的GPS、手机语音、收音机、互联网通信，我们发送和接收的都是信号。最近，深圳地铁通信系统疑似与WiFi信号冲突，也就是地铁的天线收到了WiFi的信号，而误把该信号当作地铁通信信号。我们的社会信息化，是建立在信号的基础上的。

信号是随着时间或者空间变化的序列。在信号处理中，我们常用“信号”来特指一维信号，也就是只随单一一个时间或空间维度变化的序列，这样的信号在数学上可以表示成f(t)或者f(x)这样一个函数。与一维信号形成对应的是多维信号，比如说图像是二维信号，它随x,y两个空间维度变化，从数学上表示成为f(x, y)。下面在没有特别声明的情况下，都使用“信号”来代指一维信号。
尽管信号的使用如此广泛，但信号从数学意义上来并没有什么神秘的地方，只是普通的序列(函数)。信号处理的方法可以通用于任何一个领域的信号(无论是通信、金融还是其他领域)，这也是信号处理的魅力所在。

简谐波(simple harmonic)

正弦波(sine wave)和余弦波(cosine wave)统称为简谐波。简谐波是自然界最常见的波动。

正弦波
正弦波可以写成函数的形式:w=2πf

可以看到，一个简谐波三个参数，振幅(A, amplitude)、频率(f,frequency)、相位(phi, phase)。这三个参数分别控制正弦波的不同特征。通过调整它们，我们可以得到不同的正弦波信号。

左上：原始 左下：2倍频率 右上：2倍振幅 右下：相位移动
可以看到，频率高，“山峰”越密集。振幅高，“山峰”越高。相位改变，“山峰”的位置左右移动。(朋友说我是"用音量控制音调"：唱歌本应该改变频率高低的时候，却在改变振幅的高低。)
余弦波(cosine wave)函数形式与正弦波类似，用cos表示。我们可以通过改变正弦波来从正弦波获得余弦波。

傅立叶变换 (Fourier Transform)

简谐波虽然简单，但对信号处理具有重要意义。傅立叶是一名工程师，他发现，任何信号实际上都可以通过简谐波相加近似得到。也就是傅立叶定理(Fourier inversion theorem)：
任何一个信号都可以由简谐波相加得到

因此，复杂的信号可以分解成为许多个简单的简谐波。一个信号由多个频率的简谐波相加得到。组成信号的某个简谐波，称为信号的一个分量(component)。
比如下图，显示了我们如何用简谐波的叠加来不断趋近蓝色的信号:

傅立叶变换是一套固定的计算方法，用于算出信号的各个分量(也就是下面的an,bn)。在信号处理时，可以将信号进行傅立叶变换，转换为简谐波的组合。通过分别控制各个频率上的简谐波分量，我们可以更加有效的进行信号处理。比如说，我们通信的时候可以使用高频的简谐波信号。但是接收信号的天线可能会收到其他频率的干扰信号。这个时候，我们可以对接收到的混合信号做傅立叶变换，只提取目标高频的分量。这是降低信号噪音的常用方法。傅立叶变换的过程有些复杂，但已经有大量的程序可以帮你进行。你所需要的只是输入信号，计算机会帮你算出它的各个分量。（给输入，傅里叶变换会给出输出，不用太计较变换的原理）
比如说，如果信号f(x)是周期性的，我们可以将它变换成：

也就是说，一个信号可以看做许多简谐波的和。上面的a,b是可以通过原信号求得的参数为:

a, b代表了信号在各个频率上的简谐波分量的强弱(以及相位)。这样，信号就分解为了简谐波的和。由于简谐波比较容易理解，我们可以通过研究这些分量，来明白复杂信号背后的机制。

频谱(frequency spectrum)

通过傅立叶变换，我们可以得到一个信号f(t)的不同频率的简谐波分量。每个分量的振幅，代表了该分量的强弱。将各个频率分量的强弱画出来，可以得到信号的频谱。比如下图是从每天降水序列中得到的频谱:

可以看到，以1年为周期的简谐波分量有一个明显的高峰。也就是说，一年周期的分量有比较强。这是有物理原因的。因为降水总是以一年四季为周期有规律的变化。通过信号->Fourier Transform->频谱，我们可以从简谐波分量的角度，理解复杂信号是由哪些简谐机制合成的。
百度百科上的介绍（参考）：https://baike.baidu.com/item/%E9%A2%91%E8%B0%B1%E5%88%86%E6%9E%90/9851343?fr=aladdin

频谱是指一个时域的信号在频域下的表示方式，可以针对信号进行傅里叶变换而得，所得的结果会是以分别以幅度及相位为纵轴，频率为横轴的两张图，不过有时也会省略相位的信息，只有不同频率下对应幅度的资料。有时也以“幅度频谱”表示幅度随频率变化的情形，“相位频谱”表示相位随频率变化的情形。
简单来说，频谱可以表示一个信号是由哪些频率的弦波所组成，也可以看出各频率弦波的大小及相位等信息。

信号若随着时间变化，且可以用幅度来表示，都有其对应的频谱。包括可见光（颜色）、音乐、无线电波、振动等都有这様的性质。当这些物理现象用频谱表示时，可以提供一些此信号产生原因的相关信息。例如针对一个仪器的振动，可以借由其振动信号频谱的频率成分，推测振动是由哪些元件所造成。

频谱分析是一种将复噪声号分解为较简单信号的技术。许多物理信号均可以表示为许多不同频率简单信号的和。找出一个信号在不同频率下的信息（可能是幅度、功率、强度或相位等）的作法就是频谱分析。

频谱分析可以对整个信号进行。不过有时也会将信号分割成几段，再针对各段的信号进行频谱分析。周期函数（例如）最适合只考虑一个周期的信号来进行频谱分析。傅里叶分析中有许多分析非周期函数时需要的数学工具。

一个函数的傅里叶变换包括了原始信号中的所有信息，只是表示的型式不同。因此可以用反傅里叶变换重组原始的信号。若要完整的重组原始信号，需要有每个频率下的幅度及其相位，这些信息可以用二维向量、复数、或是极座标下的大小及角度来表示。在信号处理中常常考虑幅度的平方，也就是功率，所得的就是功率谱密度。

实际上，大部分的仪器及软件都用快速傅里叶变换来产生频谱的信号。快速傅里叶变换是一种针对采样信号计算离散傅里叶变换的数学工具，可以近似傅里叶变换的结果。

随机性信号（或噪声）的傅里叶变换也是随机性的。需要利用一些取平均值的方式来得到其频率分布（frequency distribution）。一般来说会将资料依一定的时间分段，将各段资料进行傅里叶变换，再将变换后的幅度或幅度平方（幅度平方较常用）平均，以得到傅里叶变换的平均值。在处理取様的时域资料时，常用上述的作法，配合离散傅里叶变换来处理，这种处理方式称为Welch法（Welch’s method）。若所得的频谱是平的，此信号会视为“白噪声”，不过许多信号在时域下看似噪声，却可以借由这样的处理方式得到一些频域的信息。

图像处理(Image Processing)

傅立叶变换同样可用于多维信号。把傅立叶变换用于二维信号，即图像:

左边是二维信号(图像，f(x,y))。黑白可以用数值表示，即信号值。右边是二维图像的频谱。X轴表示x方向的频率，Y轴表示y方向的频率，黑白表示不同频率分量的振幅强弱。在下面一行中，Lenna被故意加上了噪声，并引起频谱的相应变化。频谱的中心代表了低频信号的振幅，频谱远离中心的地方代表了高频信号的振幅。 我们下面和加入噪声的图像比较。

（Lenna和她的频谱）
现在，在图像中加入噪声。可以看到，原图像中各处增加了许多小“斑点”。这些斑点和原来的信号混合在一起。我们很难将一一指出这些噪音点。但另一方面，这些噪音又有一定的特征：这些噪音的空间尺度（即尺寸）很小。
这一对图像噪音的理解，可以从频谱中得到确认。从右图的频谱中可以看到，高频信号(非中心部分)明显增强。高频分量正对应空间尺度小的信号。可见，噪声在频谱中，集中在高频这一特定区域。这样，在与原图像混合在一起的噪声，在频谱上则和图像区分开。通过高频滤波技术，就可以过滤掉噪声。这也是图像降噪的一大方法。
(如果对图像处理有所了解，那么一定会知道Lenna的大名。她是一位阁楼(Playboy)女郎，但又是图像处理界的女神。你可以搜索"Lenna full image"来找到全图。Lenna现在是一名老太太了，她“见证”了图像处理的发展。

总结

信号可以分解为不同频率的简谐波分量。这有助于我们更好的理解复杂的信号。傅立叶变换是信号处理(以及图像处理)的基础工具。通过傅里叶变换，我们可以获得信号的频谱。
频谱为我们提供了理解信号的另一个视角。在频率的世界里，我们可以发现很多原信号中一些可能被忽视的信息，比如降水的季节变化，比如增强的噪声。