信号频谱和傅氏变换基本思想： 把一个复杂信号分解成许多简单的正弦信号的叠加,这些正弦信号的频率是已知的，相应的振幅和相位则可由原始信号确定。

周期信号都可以表示成谐波关系的正弦信号的加权和，非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示。

信号的频率、振幅和相位称之为信号的频谱。其中，以频率 f (或角频率ω)为横坐标，以各谐波振幅为纵坐标作出的图形称为振幅(频)谱，它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小；各谐波初相角与频率的线图，称为相位(频)谱。振幅谱和相位谱，合称频谱图。一个周期信号与它的频谱（振幅谱和相位谱） 之间存在一一对应的关系，表现为时域：连续、周期 ——>频域：离散、非周期; 而非周期信号x(t)与频谱X(f )之间也存在一一对应的关系，表现为时域：连续、非周期 ——>频域：连续、非周期。傅里叶分析实质上是一种频域分析方法，信号的频域特性是信号的内在本质，而信号的时域波形只是信号的外在形式。

①有限区间周期信号

周期信号都可以表示成谐波关系的正弦信号的加权和，这些离散频率谐波有一个共同的周期, 频率都是基频的整倍数, 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。

存在有三种不同形式的Fourier级数:

周期信号频谱的特点：

1 ）离散性 频谱由不连续的谱线组成，每一条线代表一个正弦分量，这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱;

2 ）谐波性 每条谱线只能出现在基波频率的整数倍的 频率上，频谱中不可能存在任何频率为基波频率非整数倍的分量；

3 ）收敛性 各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。

4 ）功率 周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。能量谱只与信号的振幅谱有关，与相位谱无关.

②无限区间非周期信号

非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示，非周期信号可表述为从-∞→+∞无限多频率分量的连续和, 这些谐波之间可以有不同的周期。

从周期信号取周期无限大的极限来看待非周期信号，利用研究这个周期信号傅里叶级数表达式的极限特性的方法来讨论非周期信号的傅里叶变换：

X(f )—称为x(t) 的傅里叶Fourier变换；

x(t) —称为X(f ) 的傅里叶Fourier逆变换。

非周期信号x(t)是由频率为f 的谐波通过积分形式叠加而成的，频率f是从-∞连续变到+∞，而频率为f 的谐波其振幅和初相位完全X(f )df来确定，而对于不同的频率f，微分df 相同，因此只有X(f )才真正反映不同频率谐波的振幅和初相位变换，我们称X(f )是信号x(t)的连续频谱，（准确地讲，应该是频谱密度Spectrum Density），简称为频谱。

傅里叶级数与傅里叶积分关系

连续傅里叶积分是连续傅里叶级数的一个特例, 傅里叶积分变换中信号对应的是无穷区间,从-∞→+∞连续地变化频率f连续叠加而成, 这些谐波之间可以有不同的周期；叠加后的傅里叶积分表示的是一个非周期信号。

傅里叶级数变换对应的是有限区间, 傅里叶级数中的信号在其定义区间内是等同于原信号的，在其它区间则表现为一个周期函数；简谐波的叠加是离散叠加，以求和的方式来表示。由有一个共同周期的一系列离散值nf0 (f0为基频)求和的方式来表示的周期信号，频率nf0从-∞→+∞离散地变化。

离散信号与连续信号

连续谱抽样定理:有限长度信号x(t)以 T=1/f0 为周期作周期延拓的信号对应的离散频谱是x(t) 的连续谱X(f ) 以 f0=1/T 为间隔连续抽样得到离散频谱X(nf0)，即抽样信号xs(t)的频谱Xs(f )是原连续信号的频谱X(f )以采样频率fs为周期经周期延拓的结果；或者说抽样信号的频谱是原连续信号的频谱以fs为周期进行周期性延拓而成的周期函数。要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是奈奎斯特抽样定理.。