一.非线性系统与平衡点

1.1非线性系统

一个简单的非线性系统一般用这样的微分方程形式描述：
$$\dot{x}=f(x,t)$$根据这个方程的解x(t),我们可以画出来一条曲线，这个曲线对应于t从0开始到无穷。

1.2自治系统与非自治系统

线性时不变系统就是自治系统，线性时变系统就是非自治的，在这篇文章中主要分析自治系统。

1.3平衡点

定义1：假设状态x是系统的一个平衡点（平衡态），如果方程的解x(t)=x,那么该系统的状态将永久停留在这一状态。

二.稳定性的概念

2.1稳定性与不稳定性

我先用通俗语言描述一下：假设有一个大圆，半径为R，圆心记作坐标原点，你可以在大圆中画一个小圆，半径为r，接下来你在小圆内设定一个初值x(0),随着时间的增长，以x(0)为初值的运动轨迹始终在大圆内运动，则在平衡点x=0就是稳定的；对于初学者要注意稳定和平衡是两个概念；如果x=0不是稳定的，则称为不稳定平衡点。
数学语言描述：一个平衡点x=0称为稳定的，如果任意给定R>0，总存在r>0,使当||x(0)||<r时，||x(t)||<R。

2.2 渐进稳定与指数稳定

首先达成这两个条件的前提是在平衡点x=0要是稳定的，而且指数稳定蕴含渐进稳定，但是渐进稳定却不一定指数稳定。（看不懂没关系，别着急我慢慢解释）
渐进稳定的意思是在平衡点不仅是稳定的，而且从临近0的点出发的轨迹线随着时间的增长最终都会收敛于0；注意这句话里临近0点指的就是以r为圆心的圆域，如果从小r内部出发的所有轨线最终都会回归于原点，那么这个区域就叫做平衡点的吸引域。
如果满足李雅普诺夫稳定而又不是渐进稳定的平衡点，那么这个平衡点就是临界平衡点。
当我们知道系统收敛与平衡点之后，我们很自然的想到收敛的快慢也是系统必不可少的性能指标，所以指数稳定的概念是在这一个基础前提条件下提出的。

这里的$\lambda$一定是大于0的，称为指数收敛率。
考察一个系统$$\dot{x}=-x^2,x(0)=1$$
它的解为x=1/(1+t),这个解比任何指数函数$e^{-\lambda t}$收敛的都慢，所以说渐进稳定无法保证指数稳定。

2.3局部稳定与全局稳定性

在前面的介绍中提出了吸引域的概念，所以说前面说的表示的都是系统的局部形态，也就是x(0)在平衡点附近是如何演化的，但是当初态离得较远时就需要全局稳定的概念了。
定义：如果对于任何初值渐进稳定成立，则这样的平衡点称为大范围渐进稳定，也成为全局渐进稳定。

下一篇文章做线性化与李亚普诺夫的直接方法

end…感谢阅读。