0 背景和思路

**系统稳定：**系统储存的总能量持续地减小，直至耗尽，系统状态就会趋于平衡态

**稳定性考察：**考察一个正值的能量函数 $V(\mathbf{x})$ 和它的变化率 $\dot{V}(\mathbf{x})$ 来判断。若 $\dot{V}(\mathbf{x})$ 始终为负，则系统稳定。

**困难：**对于一般的动态系统，并不是总能明确地定义一个能量函数

**解决方案：**用一个正定的标量函数作为系统的广义能量函数

这个标量函数是什么：运用李雅普诺夫第二方法判断系统稳定性时，常常采用二次型的标量函数。所谓二次型函数，是指形如：
$$V(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}P\mathbf{x}$$

这里P是实对称矩阵。设：
$$\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& \cdots & P_{1n}\\ P_{21}& P_{22}& \cdots & P_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ P_{n1}& P_{n2}& \cdots & P_{nn}\end{array}\right]$$

则V的正定性可以用西尔维斯特(Sylvester) 准则来判断：
（1）二次型正定：即P矩阵正定：顺序主子式都大于0
（2）二次型（或P）负定：充要：P的主子式满足：
$${\Delta }_{2i-1}<0,{\Delta }_{2i}>0,i=1,2,\cdots$$

注：
要求正定，则说明V是正值能量函数，要求二次型，则符合能量特征

1 李雅普诺夫第二方法

取非线性定常系统状态方程为：
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=F(\mathbf{x}(t))$$

系统平衡状态：
$${\mathbf{x}}_e=0$$

定理1：

（寻找李雅普诺夫函数，使得系统渐近稳定）

1. 对于具有连续一阶偏导数的标量函数 $V(\mathbf{x})$，如果 $V(\mathbf{x})$ 正定，$V(\mathbf{x})$ 的导数负定，则系统平衡状态是渐近稳定的，这样的 $V(\mathbf{x})$ 就是系统的一个李雅普诺夫函数。
2. 如果在 1 成立的情况下，$V(\mathbf{x})$ 还满足径向无界条件：
   $$\underset{|||\mathbf{x}||\to \infty }{\lim }V(\mathbf{x})=\infty ,where||\mathbf{x}||=\sqrt{\sum _{i=1}^n{\mathbf{x}}_i^2}$$

那么平衡状态在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。

问题：在定理1中，如果V的导数是半负定的，一般只能确定系统平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，但不能确定其渐近稳定性。
解决方案：加一个限制条件，见定理2。

定理2：

（没找到满足定理1的李雅普诺夫函数，但是找到了自身正定、导数半负定的V，也想实现渐近稳定性）
如果V在系统状态方程的任一非零解的状态运动轨迹上不恒为0，那么系统的平衡状态也是渐近稳定的（#跟减函数相似）。如果V径向无界，那么系统是大范围渐近稳定的。

定理3：

（判断系统的不稳定性）
如果找到了有连续一阶偏导数的标量函数V，满足V正定，V的导数也正定，那么系统平衡状态是不稳定的。

3 李雅普诺夫稳定性分析

对于只有唯一平衡状态的线性定常系统，平衡状态的大范围稳定性与系统的稳定性是一回事，因此就不加区分了。下面将分别介绍用李雅普诺夫第二方法（下称李二法）来分析线性定常连续时间系统和线性定常离散时间系统的稳定性。
（1）线性定常连续时间系统
状态方程：
$$\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)$$

系统唯一平衡态：
$${\mathbf{x}}_e=0$$

李函数变化率：
$$\begin{array}{rl}\dot{V}(\mathbf{x})& =\dot{{\mathbf{x}}^T}P\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{T}P\dot{\mathbf{x}}\\ & =(A\mathbf{x}{)}^{T}P\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{T}PA\mathbf{x}\\ & ={\mathbf{x}}^T(A^{T}P+PA)\mathbf{x}\end{array}$$

记
$$Q=-(A^{T}P)+PA$$

为了使系统渐近稳定，Q应该正定。

问题：有时候P选得不好，Q既不是正定的也不是负定的，就不能用李二法判断系统稳定性了。

解决方案：实际用李二法的时候，一般先确定一个正定的Q，然后求解下面的李方程：
$$A^{T}P+PA=-Q$$

再找到正定的P。只要系统是渐近稳定的，那么这个李方程就一定存在正定解。也就是说，已知系统渐近稳定，那么一定存在李函数。这和前面用李函数判断渐近稳定性刚好反过来。这也就有了定理4。

定理4：

线性定常连续时间系统渐近稳定的充要条件：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P为李方程的解。
因为Q是任意的，所以一般来说，Q取单位阵，最简单了。

（2）线性定常离散时间系统
系统状态方程：
$$\mathbf{x}(k+1)=A\mathbf{x}(k)$$

系统唯一平衡态：
$${\mathbf{x}}_e=0$$

李函数：
$$V(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}P\mathbf{x}$$

因为是离散时间系统，所以用 $V(\mathbf{x}(k+1))-V(\mathbf{x}(k)$ 作为变化率：
$$\begin{array}{rl}\Delta V(\mathbf{x})& =V(\mathbf{x}(k+1))-V(\mathbf{x}(k))\\ & ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(k+1)\mathbf{P}\mathbf{x}(k+1)-{\mathbf{x}}^T(k)\mathbf{P}\mathbf{x}(k)\\ & ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(k){\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{x}(k)-{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(k)\mathbf{P}\mathbf{x}(k)\\ & ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{k})\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{A}-\mathbf{P}\right)\mathbf{x}(k)\end{array}$$

同样设：
$$Q=-(A^{T}PA-P)$$

为了让系统渐近稳定，Q应该是正定的。和连续时间系统一样，一般也是先确定Q，然后求解李方程：
$$A^{T}PA-P=-Q$$

找到正定的P。同样，有定理5：

定理5：

线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P，成为李方程的解。
同样，一般取Q为单位阵。

一些例题