李雅普诺夫梳理

article/2025/9/22 16:38:46

预备知识：

矢量场、矩阵正定负定、矩阵奇异。

1.李雅普诺夫稳定的定义：

系统，在平衡状态下，受到扰动，能够，经过足够长时间，恢复到平衡的，一种能力；

2.自治系统：

无外部输入作用的，平衡态为静止态的系统；

3.一般系统平衡状态和平衡点：

假设存在系统 $\dot{x}= f(x,t)$ ，对于所有时间t，如果某个状态x满足 $\dot{x}=0$ ，则此状态x为系统的平衡状态，记作 $x_{e}$ ；在式子 $f(x_{e},t)=0$ 所确定的所有状态点，被称为平衡点；

3.线性系统平衡状态和平衡点：

假设存在线性系统 $\dot{x}=Ax$ ，其满足：在状态 $x_{e}$ 处， $Ax_{e}=\dot{x}_{e}=0$ ，则称 $x_{e}$ 为系统的平衡状态；在式子 $Ax_{e}=0$ 所确定的所有状态点，被称为平衡点；

当系统矩阵 $A$ 是非奇异矩阵时（行列式值为0，则为奇异矩阵，反之则为非奇异矩阵），系统存在唯一平衡点 $x_{e} =0$ ；

4.大范围渐近稳定的系统：

不论系统的初始状态，在经过足够足够足够长时间，系统总是能够回到平衡点附近，且不断向着平衡点靠近，的系统；

5.线性系统中的大范围渐进稳定：

根据系统叠加原理，如果系统是渐进稳定的，那么系统一定是大范围渐进稳定的；

同样，如果线性系统的初始状态不稳定，那么系统也一定发散；

6.李雅普诺夫第一法（间接法）：

对于线性定常系统，根据系统特征方程求解出特征根即可作稳定性判别；

数学定义：

假设存在线性系统 $\dot{x}=Ax$ ，其系统矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda$ 具有负的实部，也就是说，系统矩阵 $A$ 负定，函数图像是凹的，收敛于底部平衡点，那么该系统是李雅普诺夫稳定的；

对于非线性不严重的系统，利用线性化进行处理转化为线性系统进而利用特征根的方法判别；

7.李雅普诺夫第二法（直接法）：

源自古典力学的观点：系统如果能量不能随时间而增加，那它最后必然趋于稳定；系统如果有一个渐进稳定的平衡状态，那么当系统运动到这个平衡状态附近时，其急需的能量会随时间的增长而衰减，直到到达平衡状态时获得最小值；

数学定义：

（1）假设存在系统 $\dot{x}= f(x,t)$ ，假设存在具有连续一阶导数的标量函数 $v(x,t)$ （到达平衡状态的一条路径），那么在其平衡点附近的一个邻域 $\Omega$ 假设存在：1） $v(x,t)$ 正定且有界、2） $\dot{v}(x,t)$ 负定且有界，则可以认为系统在平衡状态的邻域 $\Omega$ 内是一致渐进稳定的；如果对系统任意初始状态都满足上述条件，那么该邻域覆盖了整个系统定义域，可以认为系统大范围一致渐进稳定；