窗口设计法

        窗口设计法是从单位脉冲响应着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以通过对理想频响求DTFT反变换获得

        理想频响是分段恒定的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想滤波器单位脉冲响应hd(n)是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)？最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想像为h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表达为hd(n)乘以一个“窗函数”，即

直接截取所用的窗函数为窗函数还有其它的形式。

矩形窗

以一个截止频率为ωc的线性相位理想低通滤波器为例，讨论FIR的设计问题。

• 1.  对于给定的理想低通滤波器Hd(W)计算hd(n)

这是一个以 为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0～M的hd(n)作为h(n)，则可保证所得到的是线性相位FIR滤波器。

• 2.计算h(n)

3.计算H(W):

①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为       ，等于WR(ω)的主瓣宽度 (决定于窗的长度N和形状) 。

②过渡带两旁产生肩峰和余振(带内、带外起伏)，取决于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰值亦大，与 N无关 (决定于窗口形状) 。

③N增加,过渡带宽度减小,肩峰值不变

因主瓣附近

       其中x=Nω/2，所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时， WR(ω)幅值变大，宽度(           )减小，面积不变，起伏震荡变密，且最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯效应。

肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。

改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：

①窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；

②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。

   但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

 

汉明窗

利用傅氏变换的移位特性，汉宁窗频谱W(ω)可用矩形窗频谱WR(ω)表示为：

当N>>1时，N-1≈N，因此其频谱近似为：

三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，见下图。

注：感谢徐老师课件资源，参考了很多