PCA的理论知识已经有很多博客做了清晰的解释，主要概括为找到投影的面使得类间误差最大，转化为找到构建的协方差的特征值与特征向量，在新的投影方向（特征向量）上投影，构建数据库和待检索的人脸进行比对，得到相似度最高的人脸作为查询结果，本文使用ORL人脸数据库基于PCA方法实现人脸识别。

机器学习理论《统计学习方法》学习笔记：主成分分析（PCA）

本文所用的是ORL人脸库，由英国剑桥实验室拍摄，共有40人，每人不同角度不同表情拍摄了10张，所以共有400个样本数据，图片尺寸为112*92，格式为pgm。本文将每人的前5张作为训练集，后5张作为测试集。ORL人脸库可在该网址下载。

https://download.csdn.net/download/qq_40507857/13714311

PCA算法

设有m条n维数据：
（1）将原始数据按列组成n行m列矩阵X
（2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化，即减去这一行的均值
（3）求出协方差矩阵
（4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
（5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行进行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P
（6）Y=PX即为降维到K维后的数据

方案设计

1. 将ORL人脸数据库的40位志愿者的10张图片，使用10折交叉验证。每个人依次取出一张作为验证数据，进行10轮验证，最后得到准确率的均值。对于每次运算，训练集大小为360张图片，验证集大小为40张图片。对于每张图片，将其展开为一维向量$X_i$；即训练集$X=X_1,X_2,\cdots ,X_{3}60$，维度为（10304，400）.
2. 求X每行的均值向量u，并将其与X相减，进行零均值化，得到$C=(X_1-u,X_2-u,\cdots ,X_{3}60-u)$;
3. 构建协方差矩阵$C{C}^T$
4. 求解协方差矩阵的特征值，选取最大的K个，求出对应的K个特征向量，并将其按列排成变换矩阵P，其维度为（10304*K）；
5. 计算训练集的图片在上述特征向量下的投影，即为$Y_i=P^T(X_i-u)$，作为查找集；
6. 将待识别的图片做以上相同投影运算得到Z；
7. 遍历搜索查找集，满足$min||Y_i-Z||$条件的，即待识别图片与$Y_i$对应图片属于一类，即找到待识别照片的主人。

其中，构建的协方差矩阵$C{C}^T$进行特征值与特征向量求解时非常耗时，所以构造$C^{T}C$进行特征值和特征向量的求取，最后通过将求得的特征向量左乘C，即可得到$C^{T}C$的特征向量。

代码实现

import cv2
import numpy as np
import glob# 预处理 构建数据矩阵
images = glob.glob(r'.\ORL\*.bmp')
X = []
for img in images:img = cv2.imread(img, 0)temp = np.resize(img, (img.shape[0] * img.shape[1], 1))X.append(temp.T)
X = np.array(X).squeeze().T
print(X.shape, X.shape[1])  # (10304, 400) 400# 10轮
correct_sum = 0
for epoch in range(10):# 10折交叉验证  数据划分train_data = X[:, [x for x in list(range(X.shape[1])) if x not in list(range(epoch, X.shape[1], 10))]]test_data = X[:, list(range(epoch, X.shape[1], 10))]# trainu = np.sum(train_data, axis=1) / train_data.shape[1]  # 求均值向量# 平均脸# u = np.array(u, dtype='uint8')# average_face = np.resize(u, (img.shape[0], img.shape[1]))# cv2.imwrite('Average_Face.png', average_face)u = u[:, np.newaxis]C = train_data - u  # 中心化后数据矩阵Covariance = np.dot(C.T, C)  # 构建协方差矩阵，一般为C .* C.T，但是构造这种类型可减少运算量eigvalue, eigvector = np.linalg.eig(Covariance)  # 由协方差矩阵求解特征值、特征向量real_eigvector = np.dot(C, eigvector)  # 通过之前的构造来恢复真正协方差矩阵对应的特征向量sort = np.argsort(-eigvalue)  # 将特征值从大到小怕排序，得到排序后对于原索引P = real_eigvector.T[sort[0:100]]  # 对于排序构造特征向量，取前面较大权重值Y = []for i in range(train_data.shape[1]):temp = train_data[:, i, np.newaxis]Y.append(np.dot(P, temp - u))  # 构建每幅图像投影后的值，构造查找表# testcorrect = 0for index in range(test_data.shape[1]):img_test = test_data[:, index, np.newaxis]  # 从测试集提取单张人脸Result = np.dot(P, img_test - u)  # 计算待识别的人脸的投影a = np.sum(abs(Y - Result), axis=1).argmin()  # 遍历搜索匹配if index * 9 <= a < (index + 1) * 9:  # 若索引在宽度为9的区间内则为该人脸，视为匹配正确correct += 1print('Epoch{} correct rate: {}%'.format(epoch, correct / 40 * 100))correct_sum += correctprint('Final  correct rate: {}%'.format(correct_sum / 4))

• 平均脸

• 运行结果
  

结果分析

通过10折交叉验证，最后得到的准确度为97.75%，即通过少量样本可以得到较好的结果，说明PCA在降维上拥有很好的效果，较好的保留了主要特征。

参考文献

1. https://blog.csdn.net/qq_24946843/article/details/81775701
2. https://blog.csdn.net/Big_Huang/article/details/103830082