朴素贝叶斯法（与贝叶斯估计是不同的概念）是基于 贝叶斯定理与 特征条件独立假设的分类方法。

给定训练数据集：

1. 基于特征独立假设学习输入输出的联合概率分布；
2. 基于此模型，对给定输入$x$，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出$y$。

朴素贝叶斯法的学习与分类

基本方法

数据定义

设输入空间$\mathbb{X}\subseteq R$为$n$维向量的集合，输出空间为类标记集合 Y = { c 1 , c 2 , . . . , c K } \mathbb{Y}=\{c_1,c_2,...,c_K\} Y={c1​,c2​,...,cK​}。输入为特征向量$x\in \mathbb{X}$，输出为类标记$y\in \mathbb{Y}$。$X$是定义在输入空间$\mathbb{X}$上的随机变量，$Y$是定义在输出空间$\mathbb{Y}$上的随机变量。$P(X,Y)$是$X,Y$的联合概率分布。

训练数据集$T$，由$P(X,Y)$独立同分布产生。

学习联合概率分布

1. 首先学习先验概率分布：$$P(Y=c_k),k=1,2,...,K$$
2. 接着学习条件概率分布：$$P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},X^{(2)}=x^{(2)},...,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)$$

如何求出条件概率分布？

根据我在概率论的所学，参数估计的方法有矩估计和极大似然估计。

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性假设。这是一个比较强的假设。具体而言，条件独立性假设是：$$P(X=x|Y=c_k)=\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

朴素贝叶斯实际上是学习到生成数据的机制，属于生成模型。

条件独立假设等于是说：用于分类的特征在类确定的条件下都是条件独立的。

如何分类？

朴素贝叶斯分类时，对给定的输入$x$，通过学习到的模型计算后验概率分布$P(Y=c_k|X=x)$，将后验概率最大的类作为$x$的类输出。

后验概率的计算公式为朴素贝叶斯定理：$$P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{{\sum }_{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}$$

于是朴素贝叶斯的分类器可以表示为$$y=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}P(Y=c_k|X=x)$$

后验概率最大化的含义

换句话说，$f(X)$给出了一个分类，凡是和$y$不一样的$c_k$，通通都算了一遍它的条件概率的和，然后我们希望这个和要小，所以希望$y$的结果是条件概率最大的$y$，这样就把最大的损失给择出去了。

朴素贝叶斯的参数估计法

极大似然估计

极大似然估计的思想就是要让我观测到的，一定是概率大的。于是演变为了求频率的样子。

先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是$$P(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N}$$

设第$j$个特征$x^{(j)}$可能取值集合为 { a j 1 , a j 2 , . . . a j S j } \{a_{j1},a_{j2},...a_{jS_j}\} {aj1​,aj2​,...ajSj​​}，则条件概率的极大似然估计是（注意，这里算的是特征的条件概率）$$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}$$

学习分类算法

算法4.1（朴素贝叶斯算法）

1. 计算先验概率及条件概率；
2. 对于给定实例，逐类别计算贝叶斯公式的分母；
3. 确定最大概率的类别。

贝叶斯估计

用极大似然法估计可能会出现所要估计的概率值为0的情况，这会影响后验概率的计算结果。

条件概率的贝叶斯估计为$$P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_j\lambda }$$

常取$\lambda =1$，此时称为拉普拉斯平滑。