朴素贝叶斯法的参数估计

1. 极大似然估计

在朴素贝叶斯法中，学习意味着估计$P(Y=c_k)$和$P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$。可以应用极大似然估计法估计相应的概率。先验概率$P(Y=c_k)$的极大似然估计是
$$P(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N},k=1,2,...,K$$
设第j个特征$x^{(j)}$可能取值的集合为 { a j 1 , a j 2 , . . . , a j S j } \{a_{j1},a_{j2},...,a_{jS_j}\} {aj1​,aj2​,...,ajSj​​}，条件概率$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$的极大似然估计是
$$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_l=c_k)}j=1,2,...,n;l=1,2,..,S_j;k=1,2,...,K$$
式中，$x_i^{(j)}$是第i个样本的第j个特征，$a_{j}l$是第j个特征可能取的第l个值，$I$为指示函数。

2. 学习与分类算法

算法：朴素贝叶斯算法

输入：训练数据 T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) } T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\} T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...,(xN​,yN​)}，其中$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)}{)}^T$，$x_i^{(j)}$是第i个样本的j个特征，$x_i^{(j)}\in a_{j1},a_{j2},...,a_{j{S}_j}$，$a_{jl}$是第j个特征可能取的第$l$个值， j = 1 , 2 , . . . , n , l = 1 , 2 , . . . , S j , y i ∈ { c 1 , c 2 , . . , c K } j=1,2,...,n,\quad l=1,2,...,S_j,\quad y_i\in\{c_1,c_2,..,c_K\} j=1,2,...,n,l=1,2,...,Sj​,yi​∈{c1​,c2​,..,cK​}；实例x；

输出：实例x的分类

（1）计算先验概率及条件概率
$$\begin{gathered} P(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)}{N},k=1,2,...,K \\ p(X^{(f)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(f)}=a_{jl},y_i=c_k)}{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)} \\ j=1,2,...,n;l=1,2,...,S_j=1,2,...,K \end{gathered}$$
（2）对于给定的实例$x=(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)}{)}^T$，计算
$$P(Y=c_k)\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)，k=1,2,...,K$$
（3）确定实例x的类
$$y=argma{x}_{c_k}P(Y=c_k)\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$
例：

试由下表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定$x=(2,S{)}^T$的类标记y。表中$X^{(1)},X^{(2)}$为特征，取值的集合分别为 A 1 = { 1 , 2 , 3 } , A 2 = { S , M , L } A_1=\{1,2,3\},A_2=\{S,M,L\} A1​={1,2,3},A2​={S,M,L}，Y为类标记， Y ∈ C = { 1 , − 1 } Y\in C=\{1,-1\} Y∈C={1,−1}

根据朴素贝叶斯算法：

$P(Y=1)=\frac{9}{15},P(Y=-1)=\frac{6}{15}$

$P(X^{(1)}=1|Y=1)=\frac{2}{9},P(X^{(1)}=2|Y=1)=\frac{3}{9},P(X^{(1)}=3|Y=1)=\frac{4}{9}$

$P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{1}{9},P(X^{(2)}=M|Y=1)=\frac{4}{9},P(X^{(2)}=L|Y=1)=\frac{4}{9}$

$P(X^{(1)}=1|Y=-1)=\frac{3}{6},P(X^{(1)}=2|Y=-1)=\frac{2}{6},P(X^{(1)}=3|Y=-1)=\frac{1}{6}$

$P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{3}{6},P(X^{(2)}=M|Y=-1)=\frac{2}{6},P(X^{(2)}=L|Y=-1)=\frac{1}{6}$

对于给定的$x=(2,S{)}^T$计算：
$$\begin{gathered} P(Y=1)P(X^{(1)}=2|Y=1)P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{1}{45} \\ P(Y=-1)P(X^{(1)}=2|Y=-1)P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{1}{15} \end{gathered}$$
因为$P(Y=-1)P(X^{(1)}=2|Y=-1)P(X^{(2)}=S|Y=-1)$最大，所以$y=-1$.

3. 贝叶斯估计

用极大似然估计可能会出现所要估计的概率值为0的情况。这时会影响到后验概率的计算结果，使分类产生偏差。解决这一问题的方法是采用贝叶斯估计。具体地，条件概率的贝叶斯估计是
$$P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+S_j\lambda }\text{\hspace{1em}(1)}$$
式中$\lambda \ge 0$。等价于在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda >0$。当$\lambda =0$时就是极大似然估计。常取$\lambda =1$，这时称为拉普拉斯平滑（Laplace smoothing）。显然，对任何$l=1,2,...,S_j,k=1,2,...,K$，有
$$\begin{gathered} P_{\lambda }(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)>0 \\ \sum _{l=1}^{S_j}P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=1 \end{gathered}$$
表明式（1）确为一种概率分布。其中$S_j$是某一特征值的可能取值数量。同样，先验概率的贝叶斯估计是
$$P_{\lambda }(Y=c_k)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I(y_i=c_k)+\lambda }{N+K\lambda }$$
其中K是类标记Y的可能取值数量。

例：

试由下表的训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定$x=(2,S{)}^T$的类标记y。表中$X^{(1)},X^{(2)}$为特征，取值的集合分别为 A 1 = { 1 , 2 , 3 } , A 2 = { S , M , L } A_1=\{1,2,3\},A_2=\{S,M,L\} A1​={1,2,3},A2​={S,M,L}，Y为类标记， Y ∈ C = { 1 , − 1 } Y\in C=\{1,-1\} Y∈C={1,−1}，按照拉普拉斯平滑估计概率，即取$\lambda =1$.

解：按照贝叶斯估计

$P(Y=1)=\frac{10}{17},P(Y=-1)=\frac{7}{17}$

$P(X^{(1)}=1|Y=1)=\frac{3}{12},P(X^{(1)}=2|Y=1)=\frac{4}{12},P(X^{(1)}=3|Y=1)=\frac{5}{12}$

$P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{2}{12},P(X^{(2)}=M|Y=1)=\frac{5}{12},P(X^{(2)}=L|Y=1)=\frac{5}{12}$

$P(X^{(1)}=1|Y=-1)=\frac{4}{9},P(X^{(1)}=2|Y=-1)=\frac{3}{9},P(X^{(1)}=3|Y=-1)=\frac{2}{9}$

$P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{4}{9},P(X^{(2)}=M|Y=-1)=\frac{3}{9},P(X^{(2)}=L|Y=-1)=\frac{2}{9}$

对于给定的$x=(2,S{)}^T$计算：
$$\begin{gathered} P(Y=1)P(X^{(1)}=2|Y=1)P(X^{(2)}=S|Y=1)=\frac{5}{153}=0.0327 \\ P(Y=-1)P(X^{(1)}=2|Y=-1)P(X^{(2)}=S|Y=-1)=\frac{28}{459}=0.0610 \end{gathered}$$
因为$P(Y=-1)P(X^{(1)}=2|Y=-1)P(X^{(2)}=S|Y=-1)$最大，所以$y=-1$.