二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，卷积公式容易，积分区间难以确定，所以分成上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布？

二。公式

$F_{z}(z)=P(Z\leqslant z)=\int \int_{g(x,y)\leqslant z} f(x,y)dxdy$

特殊类型：Z=X+Y，怎样确定Z的分布？如何求Z的概率密度？
$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy$

当X与Y相互独立时，
就得到所谓的${\color{Red} {卷积公式}}$
$f_{z}(z)=f_{x}*f_{y}=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx = \int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$
这就是所谓的卷积积分

三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的概率密度$f_{z}(z)$ 及概率分布 $F_{z}(z)$？

根据理解或者根据上面的公式，我们知道 $f_{z}(z)$ 是将f(x,y)求一次积分，$F_{z}(z)$是求二次积分，难点问题在于${\color{Red} {如何确定积分区间？需要分成几个区间？}}$

对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，得到$f_{z}(z)$
表示成

$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$

，那么我们要画出一个 x–z的坐标，确定积分区间

1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, $a\leqslant x\leqslant b$
那么积分的左右边界就是a到b
2）根据关系式
z=x+y， 由于坐标系是x–z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：$z_{min}=x+y_{min}$
z的最大值：$z_{max}=x+y_{max}$
积分的上下边界就是 $z_{min}$到 $z_{max}$

因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：
$f_{z}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$

所以按照x积分，积分区间就要分成三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间

1)${\color{Red} {红色区间}}$，
$X_{min}+Y_{min} \leqslant z<X_{min}+Y_{max}$
x积分区间= a 到 Z-Ymin
$\int_{a}^{z-y_{min}}dx$

2)