卷积是一种计算方法

1、一维连续卷积

1.1 基本概念

$$h(x)=f(x)\otimes g(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(u)\times g(x-u)du$$

对于线性时不变系统，它的零状态响应可以通过系统的冲激响应h(t)与e(t)的卷积积分求得：
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }e(\tau )\times h(t-\tau )d\tau$$

对于这个理解，此网址由https://blog.csdn.net/palet/article/details/88862647很好的解释，下面主要引用此博客下的内容：

1.2 示例图解:

输入信号是 f(t) ，是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ，图中的响应函数是随时间指数下降的.如果在 t=0 的时刻有一个输入，那么随着时间的流逝，这个输入将不断衰减。换言之，到了 t=T时刻，原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

考虑到信号是连续输入的，也就是说，每个时刻都有新的信号进来，所以，最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。如下图所示，在T=10时刻，输出结果跟图中带标记的区域整体有关。其中，f(10)因为是刚输入的，所以其输出结果应该是f(10)g(0)，而时刻t=9的输入f(9)，只经过了1个时间单位的衰减，所以产生的输出应该是 f(9)g(1)，如此类推，即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加，就是T=10时刻的输出信号值，这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值。

显然，上面的对应关系看上去比较难看，是拧着的，所以，我们把g函数对折一下，变成了g(-t)，这样就好看一些了。看到了吗？这就是为什么卷积要“卷”，要翻转的原因，这是从它的物理意义中给出的。
上图虽然没有拧着，已经顺过来了，但看上去还有点错位，所以再进一步平移T个单位，就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述：
所以，在以上计算T时刻的卷积时，要维持的约束就是： t+ (T-t) = T

2、一维离散卷积

2.1 基本概念

$$h(i)=f(i)\otimes g(i)=\sum _{u=-\infty }^{\infty }f(u)\times g(i-u)=\sum _{u=0}^{i}f(u)\times g(i-u)$$
公式中，f(i)为一维离散函数，$i\in [0,m-1]$，即大小为$1\times m$；g(i)为一维离散函数，$i\in [0,n-1]$；即大小为$1\times n$；h(i)为卷积结果，$i\in [0,m+n-1]$，即大小为m+n-1。后续应用根据不同情况，可以截取结果为相应大小。
一维原始矩阵与一维模板矩阵向卷积，卷积过程步骤为：
(1)基于卷积定义，将模板矩阵旋转180度
(2)将模板矩阵从左到右在原始矩阵中滑动，计算模板矩阵与原始矩阵交集元素的乘积，该和即为卷积结果对应位置的数值。
原矩阵为：[1 2 3]
模板矩阵为：[4 5]
步骤：
1、模板矩阵旋转180度[5 4]
2、
$$\begin{array}{clcr}& & & \\ & 1& 2& 3\\ 5& 4& & \\ & 4& & \end{array}$$
$$\begin{array}{clcr}& & & \\ & 1& 2& 3\\ & 5& 4& \\ 4& 13& & \end{array}$$
$$\begin{array}{clcrc}& & & & \\ & 1& 2& 3& \\ & & 5& 4& \\ 4& 13& 22& & \end{array}$$
$$\begin{array}{clcrcc}& & & & & \\ & 1& 2& 3& & \\ & & & 5& 4& \\ 4& 13& 22& 15& & \end{array}$$

故卷积结果为[4 13 22 15]

2.2 示例图解

在知乎问题 如何通俗易懂地解释卷积中排名第一的 马同学在中举的一个很好的例子
丢骰子
要解决的问题是：有两枚骰子，把它们都抛出去，两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

分析一下，两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况：1+3=4， 2+2=4, 3+1=4即

写成卷积的方式就是${\sum }_{m=1}^{3}f(m)g(4-m)$
首先，因为两个骰子的点数和是4，为了满足这个约束条件，我们还是把函数 g 翻转一下，然后阴影区域上下对应的数相乘，然后累加，相当于求自变量为4的卷积值，如下图所示：
进一步，如此翻转以后，可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率，为f 和 g的卷积 f*g(n)，如下图所示：
由上图可以看到，函数 g 的滑动，带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和，它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算，如果骰子的每个点数出现的概率是均等的，那么两个骰子的点数和n=7的时候，概率最大。

3、二维卷积

3.1 二重积分

3.2 二维连续卷积

二维连续卷积
$$h(x,y)=f(x,y)\otimes g(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(u,v)g(x-u,y-v)dudv$$
公式中，f(x,y)和g(x,y)为两个二维连续函数
二维连续卷积可以看成给定x，y，u= z(v),对v进行一次卷积，然后在对v卷积

3.3 二维离散卷积

二维离散卷积公式：
$$\begin{gathered} h(i,j)=(f\ast g)(i,j)=f(i,j)\otimes g(i,j)=\sum _{u=-\infty }^{\infty }\sum _{v=-\infty }^{\infty }f(u,v)g(i-u,j-v) \\ =\sum _{u=0}^{\infty }\sum _{v=0}^{\infty }f(u,v)g(i-u,j-v) \end{gathered}$$
公式中，f(i,j)为二维离散函数，$i\in [0,m-1]，j\in [0,n-1]$,即大小为$m\times n$；g(i,j)为二维离散函数，$i\in [0,p-1]，j\in [0,q-1]$,即大小为$p\times q$；h(i,j)为卷积结果，$i\in [0,m+p-1]，j\in [0,n+q-1]$,即大小为$(m+p-1)\times (n+q-1)$

离散卷积理解为在u和v两个方向去累加

3.4 图像卷积示例

对图像矩阵的理解，图像可以认为是二维函数的离散形式，灰度值相当于z坐标，分辨率大小为x,y
矩阵可以看成是一堆坐标值，在空间

参考：
1、https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/637156871 （如何通俗易懂地解释卷积？)
2、数字图像处理 原理与实现