一、卷积计算原理

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对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 $x(n)$ 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , $y(n)$ 是 " 输出序列 " ,

则有 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

输出序列 的元素个数 : $$输出序列元素个数=输入序列元素个数+单位脉冲响应序列元素个数-1$$

二、卷积计算

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给定 输入序列 :

x ( n ) = { 1 , 2 } [ 0 , 1 ] x(n) = \{1,2\}_{[0, 1]} x(n)={1,2}[0,1]​

单位脉冲响应 :

h ( n ) = { 1 , 2 } [ 0 , 1 ] h(n) = \{1,2\}_{[0, 1]} h(n)={1,2}[0,1]​

计算卷积 : $$x(n)\ast h(n)$$ ;

卷积结果序列对应的元素个数是 $2+2-1=3$

根据如下 卷积 公式 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$

$$x(n)\ast h(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)$$

1、计算 y(0)

计算 $y(0)$ :

$$\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(0-m)$$

$m$ 取值 $[-\infty ,+\infty ]$

$m<0$ 时 , 有 $x(m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 ;

$m=0$ 时 , 有 $x(0)h(0-0)=x(0)h(0)=1\times 1=1$

$m\ge 1$ 时 , 有 $h(n-m)=h(0-m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 ;

最终 :

$$y(0)=x(0)h(0)=1\times 1=1$$

2、计算 y(1)

计算 $y(1)$ :

$$\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(1-m)$$

$m$ 取值 $[-\infty ,+\infty ]$

$m<0$ 时 , 有 $x(m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 ;

$m=0$ 时 , 有 $x(m)h(n-m)=x(0)h(1-0)=x(0)h(1)=1\times 2=2$

$m=1$ 时 , 有 $x(m)h(n-m)=x(1)h(1-1)=x(1)h(0)=2\times 1=2$

$m\ge 2$ 时 , 有 $h(n-m)=h(2-m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 ;

最终 :

$$y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=2+2=4$$

3、计算 y(2)

计算 $y(2)$ :

$$\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(2-m)$$

$m$ 取值 $[-\infty ,+\infty ]$

$m<0$ 时 , 有 $x(m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 ;

$m=0$ 时 , 有 $x(m)h(n-m)=x(0)h(2-0)=x(0)h(2)=1\times 0=0$ , $h$ 仅在 $0,1$ 索引有值 , $2$ 索引值为 0 ;

$m=1$ 时 , 有 $x(m)h(n-m)=x(1)h(2-1)=x(1)h(1)=2\times 2=4$

$m\ge 2$ 时 , 有 $h(n-m)=h(2-m)=0$ , 则 $x(m)h(n-m)=0$ , 累加没有意义 , $h$ 仅在 $0,1$ 索引有值 , 小于 $0$ 的索引值为 0 ;

最终 :

$$y(1)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=0+4=4$$

三、使用 matlab 计算卷积

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matlab 源码 :

x = [1, 2];
h = [1, 2];y = conv(x, h);

最终计算结果 : y ( n ) = { 1 , 4 , 4 } [ 0 , 2 ] y(n) = \{1,4,4\}_{[0,2]} y(n)={1,4,4}[0,2]​

四、使用 C 语言实现卷积计算

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从百度百科找了个源码 : convolution 是卷积计算的函数 , 仅做参考 ;

void convolution(double *input1, double *input2, double *output, int mm, int nn)
{double *xx = new double[mm + nn - 1];// do convolution for (int i = 0; i < mm + nn - 1; i++){xx[i] = 0.0;for (int j = 0; j < mm; j++){if (i - j >= 0 && i - j < nn)xx[i] += input1[j] * input2[i - j];}}// set value to the output array for (int i = 0; i < mm + nn - 1; i++)output[i] = xx[i];delete[] xx;
}

源码参考 https://baike.baidu.com/item/卷积 百度百科 ;