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系列专栏：  数学建模

目录

前言

一、引入

二、层析分析法

1.思想介绍

2.判断矩阵

3.一致矩阵

4.一致性检验

5.一致性检验步骤（两张图片告诉你）

6.计算权重

一致矩阵计算权重：

 判断矩阵计算矩阵：

 如何求权重？

7.填表

8.计算得分

三、总结

层次分析法第一步

层次分析法第二步 

层次分析法第三步

层次分析法第四步

四、局限性

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前言

层次分析法（The analytic hierarchy process, 简称AHP）：

建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运

动员或者员工表现的更优秀）。

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一、引入

填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

① 我们评价的目标是什么？ ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

① 我们评价的目标是什么？

答：为小明同学选择最佳的旅游景点。

② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。

③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

答：题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。 一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案 需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进 行结合，从中筛选出最合适的指标。

假如我们查询了资料后选择了以下五个指标： ①景点景色 ②旅游花费 ③居住环境 ④饮食情况 ⑤交通便利程

分而治之：我们先来确定指标的权重。

问题： 一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。

解决方法： 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

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 什么是权重？（一张图告诉你）

​

层次分析法思想：

如果用1‐9表示重要程度（见下表），两两比较可得出上述这五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

​

二、层析分析法

1.思想介绍

老头: 根据右边这个表，请你在选择旅游目的地时，比较景色和花费的重要程度。

小明: 我认为花费比景色略微重要(介于同等重要1和稍微重要3之间) 

通过这样的两两指标进行比较，小明回答了10次【 组合数C(5,2) 】，你根据他所回答的填好了下边这张表。

​

总结：上面这个表是一个5*5的方阵，我们记为A，对应的元素为𝑎[i][j]。

这个方阵有如下特点：

（1）a[i][j] 表示的意义是，与指标𝑗相比，𝑖的重要程度。

（2）当𝑖=𝑗时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。

（3）a[i][j] > 0且满足a[i][j] * a[j][i] = 1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵） 实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

得到了判断矩阵，就可以计算出权重，那如何计算？

​

2.判断矩阵

（1）填写判断矩阵：

​

Q1：你觉得苏杭的风景和北戴河相比如何？

A1：稍微好一点点吧（介于1‐3之间）（这两点和上文中的老头和小明对话一样）

...........

注意：判断矩阵中的元素只能是1至9和它们的倒数，有些文章中填入了其他的数（例如3/2、5/4），这是不可以的。

​

3.一致矩阵

若矩阵中每个元素𝑎[i][j] > 0且满足𝑎[i][j] * 𝑎[j][i] = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。 若正互反矩阵满足a[i][j] * a[j][k] = a[i][k]，则我们称其为一致矩阵。

​

观察上面这两个矩阵的特点： 各行（各列）之间成倍关系。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

4.一致性检验

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

​

若正互反矩阵满足a[i][j] * a[j][k] = a[i][k]，则我们称其为一致矩阵。

引理：n阶正反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值λ(max) = n，且当正反矩阵A非一致时，一定满足λ(max) > n。

判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大。

5.一致性检验步骤（两张图片告诉你）

​

​

6.计算权重

• 一致矩阵计算权重：

​

对于景色这点而言：（注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解） 苏杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4。

注意，权重一定要进行归一化处理：

苏杭 = 1 /（1+0.5+0.25） 北戴河 = 0.5 /（1+0.5+0.25） 桂林 = 0.25 /（1+0.5+0.25）

•  判断矩阵计算矩阵：

• ​

•  如何求权重？

 方法1：算术平均法求权重

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 方法2：几何平均法求权重

 ​

 方法3：特征值法求权重

​

 ​

7.填表

​

 ​

 我们可以得到使用特征值法求得的权重矩阵，根据此矩阵， 我们可以计算出每个旅游景点的得

分。

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8.计算得分

​

 类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245， 桂林得分为0.455. 因此最佳的旅游景点是桂林。

三、总结

层次分析法第一步

​

层次分析法第二步 

​

层次分析法第三步

​

注意：

（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。

一致性检验步骤

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注意：特征值可用matlab软件进行计算。如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。

层次分析法第四步

根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

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四、局限性

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总结

层析分析法是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。”