层次分析法的求解步骤

1.建立层次结构模型

模型分为三层。分别为最高层（决策问题最终要解决什么，即决策的目的）、中间层（考虑的因素，决策的准则。比如买衣服要考虑价格、尺寸、款式等因素）和最低层（决策时的备选方案，即有几种选择可以选择）。也叫作目标层、准则层、方案层。
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。

2.列出权重表格

分别由方案、考虑因素、所占权重组成。首先得出准则权重，然后由准则权重确定不同方案的权重。例如：下图旅游选择旅游地点：

图：确定准则权重

图：准则权重确定不同的方案权重（景色）

3.构造判断矩阵

直接对权重表格考虑填好，往往会考虑不周，因此分而治之，两个两个指标进行比较，最终由两两比较的结果来推出权重。采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
书上给的解释：
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》
两个元素进行比较时，可用于判断权重的标度，以此来对各个考虑因素确定重要程度。(判断矩阵)

两个元素进行比较时，判断权重标度时表格。

（此图有误，为正互反矩阵，但不是一致矩阵）
此矩阵为正互反矩阵，即矩阵所有元素均大于0，并且aij*aji=1(i为行，j为列)
注意：𝑎ij表示的意义是，与指标𝑗相比，𝑖的程度。
当𝑖 = 𝑗时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
元素应该是1-9整数或者其倒数，有的写为诸如4/3是不对的。
然后重复上述步骤，对准则权重确定不同的方案权重同样列出判断矩阵。如：

4.一致矩阵的判断

若正互反矩阵满足𝑎ij* 𝑎jk =𝑎ik，则我们称其为一致矩阵。(式中i、j、k都为整数，直接取即可)如果第5条中一致矩阵检验不通过，进行修正，可使矩阵满足各行或者各列之间成倍数关系。下图为修正后的一致矩阵：

引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值等于n.并且当正互反矩阵非一致时，一定满足最大特征值大于n.矩阵越不一致时，最大特征值和n相差就越大。

5.一致性检验

定义一致性指标CI=（λ−n）/（n−1） CI=0，有完全的一致性；
CI接近于0，有满意的一致性；CI越大，不一致越严重。
第一步：计算一致性指标CI CI=（λ−n）/（n−1）
第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

第三步：计算一致性比例CR
CR=CI/RI
如果CR<0.1,则认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要修正。
注：特征值可用matlab软件进行计算，没学过线性代数的同学也不需要担心。如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。

6.判断矩阵计算权重

三种方法计算权重：
（1） 算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法
比赛时尽量三种方法均使用：
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

1. 算数平均法求权重
   第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
   第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
   第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
   就像这样：
   
2. 几何平均法求权重
   第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
   第二步：将新的向量的每个分量开n次方
   第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
3. 特征值法求权重
   假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
   第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
   第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
   最后求解得出权重表：
   如：
   
   （景色）
   

最终得出总表：

由此来分别计算各个方案的得分，做出决策。

7.层次分析法的一些缺点

*–和一般的评价过程, 特别是模糊综合评价相比, AHP客观性提高, 但当因素多 (超过9个) 时, 标度工作量太大, 宜引起标度专家反感和判断混乱.
*–对判断矩阵的一致性讨论得较多, 而对判断矩阵的合理性考虑得不够, 这是因为对标度专家的数量和质量重视不够
*–没有充分利用已有定量信息.AHP都是研究专门的定性指标评价问题, 对于既有定性指标也有定量指标的问题 (这种问题更普遍) 讨论得不够.事实上, 为使评价客观, 评价过程中应尽量使用定量指标, 实在没有定量指标再用定性判断
*–判断矩阵中的各个标度的赋值有很大的随意性, 同时, 这种赋值方式对于单人决策是可行的, 对于多人决策, 可能会出现冲突。虽然也可以通过专家决策法将决策意见进行汇总取权重, 但这个过程周期长且比较复杂
*–判断矩阵的赋值方式有待斟酌, 即矩阵中对称位置权数取倒数关系。该赋值一方面忽视现实决策中的非理性实际,鉴于此, 层次分析法中提出了一致性 检验, 即找出实际决策环境中的随机判断矩阵的最大特征值 λ , 用公式 (λ-n)/ (n-1)来检验矩阵的一致性指标, 但仅仅是检验, 而不能在决策之前就对决策进行指导。
*–正反矩阵的这种“倒数”赋值 会在后面的计算标准权重和相对权重中 产生“意见放大”现象
*–不能为决策提供新方案。层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，，而不能为决策者提供解决问题的新方案。
自己总结