泰勒展开

1.泰勒定理

若函数$f(x)$在$x_0$处n阶可微，则
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)$$
其中，$R_n(x)$称为$f(x)$的余项，常用的余项公式如下所示：

佩亚诺型余项：$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

拉格朗日型余项：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$$
其中，$\xi$是介于x与$x_0$之间的一个数，特别的，当$x_0=0$时的带拉格朗日余项的泰勒公式如下：
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1},(0<\xi <x)$$
该方程称为麦克劳林公式。

下面给出几种常用的带拉格朗日余项的泰勒公式展开：

1）
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{(\theta x)}}{(n+1)!}{x}^{(n+1)}$$
2）
$$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1{)}^{(n-1)}\frac{x^{(2n-1)}}{(2n-1)!}+(-1{)}^n\frac{x^{(2n+1)}}{(2n+1)!}$$
3）
$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+...+(-1{)}^n\frac{x^{(2n)}}{(2n)!}+(-1{)}^{(n+1)}\frac{cos\theta x}{(2n+2)!}{x}^{(2n+2)}$$
4）
$$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+...+(-1{)}^{(n-1)}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\frac{x^{(n+1)}}{(n+1)(1+\theta x{)}^{(n+1)}}$$
5）
$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)(\alpha -n)}{(n+1)!}(1+\theta x{)}^{(\alpha -n-1)}{x}^{(n+1)}$$
以上就是总结的几个常用的泰勒展开。

2.MATLAB实现方法

从上面的例子可以看出，麦克劳林公式实际上就是将$f(x)$表示为$x^n$的和的形式，而在MATLAB中实现泰勒展开的函数为taylor，其具体的语法格式如下所示：

实例：

（1）求$e^{x^2}$的7阶麦克劳林近似展开

syms x
f = exp(x^2);f7 = taylor(f)f7 =x^4/2 + x^2 + 1

（2）求$\frac{sinx}{x}$的5阶麦克劳林型展开

syms x
f = sin(x)/x;
f5=taylor(f)f5 =x^4/120 - x^2/6 + 1

（3）求$f(x)=asin(x)+bcos(x)+ctan(x)$的10阶麦克劳林展开

syms x a b c
f = a*sin(x)+b*cos(x)+c*tan(x);
f10 = taylor(f,x,'order',10)f10 =(a/362880 + (62*c)/2835)*x^9 + (b*x^8)/40320 + ((17*c)/315 - a/5040)*x^7 - (b*x^6)/720 + (a/120 + (2*c)/15)*x^5 + (b*x^4)/24 + (c/3 - a/6)*x^3 - (b*x^2)/2 + (a + c)*x + b

如果想了解更多泰勒定理的应用，可以参考这篇文章：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/355572556