IEEE-754双精度浮点数

IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现），本文介绍64位双精度浮点数。

存储结构

IEEE-754双精度浮点数(double floating-point)存储为64bit，由符号位(s)、有偏指数(e)、小数部分(f)组成：

组成	描述	位数	位置
sign	符号，0表示正，1表示负	1bit	63
exponent	指数部分	11bit	52-62
fraction	小数部分	52bit	0-51

类型划分

11位的指数部分可存储00000000000 ~ 11111111111（十进制范围为0 ~ 2047），取值可分为3种情况：

1. 11位指数不为00000000000和11111111111，即在00000000001 ~ 11111111110（1 ~ 2046）范围，这被称为规格化。
2. 指数值为00000000000（0），这被称为非规格化
3. 指数值为11111111111（2047），这是特殊值，有两种情况：
   • 当52位小数部分f全为0时，若符号位是0，则表示+Infinity(正无穷)，若符号位是1，则表示-Infinity(负无穷)
   • 当52位小数部分f不全为0时，表示NaN(Not a Number)

规格化

规格化下，浮点数的形式可表示为：
$$(-1{)}^s\times 1.\underset{f(有效52位)}{\underbrace{bbb\cdots b}}(\underset{53位及以后}{\underbrace{ccc\cdots }})\times 2^{e-1023}(0<e<2047)$$
其中：

• s为0或1，0表示正数，1表示负数，对应1bit的符号位
• f为52位有效位，其中的每一位b是0或1，对应52bit的小数部分（不足52位补0）
• c是超出52位的部分（如果有的话，需要舍入（精度会丢失），规则下述）
• e为十进制数值，其11位的二进制数值对应11bit的指数部分
• 1023为移码，移码值为 $2^{n-1}-1$，这里的n表示指数位数，对于64bit的双精度存储，n是11

十进制中，12345可表示为$1.2345\times 10^4$；二进制中，10011可表示为$1.0011\times 2^4$

先看个简单例子，计算2.25的双精度浮点数：

2.25转为二进制为10.01，10.01转为上述表示法为 $1.\underset{f}{\underbrace{001}}\times 2^1$，可得：

• 数值为正，因此符号位是0
• 小数为001，不足52位，补0，得到
  $$\underset{001后49个0共52位}{\underbrace{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}}$$
• 指数e-1023 = 1，则 e = 1024，二进制值为$\underset{11位}{\underbrace{10000000000}}$

综上，将1位符号、11位指数、52位小数整合可得到2.25的双精度浮点数表示：
$$\underset{s}{\underbrace{0}}\underset{e}{\underbrace{10000000000}}\underset{f}{\underbrace{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}}$$
上述步骤反向操作可得到十进制值

上面这个例子中，小数部分不存在舍入的问题（位数小于52位），那么如果小数超出了52位，如何处理呢？有以下几种情况：

1、第53位是0，无需处理
2、第53位是1且53位之后全是0：

• 若第52位是0，无需处理；
• 若第52位是1，那么向上舍入

3、第53位是1，且之后不全是0：那么向上舍入

再看一个例子，计算23.3的双精度浮点数：
23.3转为二进制为
$$10111.0100110011001100110011001100110011001100110011001100\underset{1100循环}{\underbrace{\cdots }}$$
改写为
$$1.\underset{52位}{\underbrace{0111010011001100110011001100110011001100110011001100}}\underset{1100循环}{\underbrace{1100\cdots }}\times 2^4$$
数值为正，因此符号位是0；指数e -1023 = 4，e = 1027 = 10000000011，因此指数部分是10000000011；小数位无限循环，53位是1且之后不全是0，符合上述规则3，因此向上舍入，第52位由0变为1，最终小数部分为：
$$0111010011001100110011001100110011001100110011001101$$
整合后得到23.3的双精度浮点数表示：
$$\underset{s}{\underbrace{0}}\underset{e}{\underbrace{10000000011}}\underset{f}{\underbrace{0111010011001100110011001100110011001100110011001101}}$$

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非规格化

非规格化可用以下形式表示（小数点前面是0）：
$$(-1{)}^s\times 0.\underset{f(52位)}{\underbrace{bbb\cdots b}}\times 2^{e-1022}(e=0)$$
当$f=0$（52位小数全为0）时，表示的值是0：$s=0$表示-0，$s=1$表示+0

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特殊值

当$e=2047$（11位指数全为1）时：

• 若$f>0$，表示NaN
• 若$f=0,s=0$，表示+Infinity
• 若$f=0,s=1$，表示-Infinity

数值范围

1、在规格化中，当指数e最大（前10位为1，11位为0，即2046）且小数f最大（52位全为1）时，能表示出最大正值，为
$$1.\underset{52个1}{\underbrace{111\cdots 11}}\times 2^{2046-1023}=\underset{53个1}{\underbrace{111\cdots 11}}\underset{971个0}{\underbrace{000\cdots 00}}$$
转为十进制值为1.7976931348623157e+308，则能表示的最小负值为-1.7976931348623157e+308。

2、在规格化中，当指数e最小（前10位为0，11位为1，即1）且小数f最小（52位全为0）时，能表示出最小正值，为
$$1.\underset{52个0}{\underbrace{000\cdots 00}}\times 2^{1-1023}=0.\underset{1021个0}{\underbrace{000\cdots 00}}1$$
转为十进制值为2.2250738585072014e-308，则能表示的最大负值为-2.2250738585072014e-308。

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在非规格化中，指数e为0
1、当小数f最大（52位全为1）时，能表示出最大正值，为
$$0.\underset{52个1}{\underbrace{111\cdots 11}}\times 2^{-1022}=0.\underset{1022个0}{\underbrace{000\cdots 00}}\underset{52个1}{\underbrace{111\cdots 11}}$$
转为十进制值为2.225073858507201e-308，则最小负值为-2.225073858507201e-308

2、当小数f最小（前51位为0，52位为1）时，能表示出最小正值，为
$$0.\underset{第52位为1}{\underbrace{000\cdots 01}}\times 2^{-1022}=0.\underset{1073个0}{\underbrace{000\cdots 00}}1$$
转为十进制值为5e-324，则最大负值为-5e-324

整数范围（精确整数，无精度丢失）

当 e - 1023 = 52，即e = 1075，小数f最大（52位全为1）时，能表示出最大安全正整数，为
$$1.\underset{52个1}{\underbrace{111\cdots 11}}\times 2^{52}=\underset{53个1}{\underbrace{111\cdots 11}}$$
转为十进制值为$2^{53}-1$ = 9007199254740991，则能表示的最小安全负整数为-9007199254740991

总结

1、javascript中的数值统一采用IEEE-754双精度存储，因此在计算时可能出现精度丢失，导致奇怪的结果，如 0.1 + 0.2 !== 0.3

2、下表列出了IEEE-754中的数值边界值，其中某些值对应javascript中的数值常量

-	最小负值	最大负值	最小正值	最大正值	最小安全负整数	最大安全正整数
规格化	-1.7976931348623157e+308	-2.2250738585072014e-308	2.2250738585072014e-308	1.7976931348623157e+308(Number.MAX_VALUE)	-9007199254740991(Number.MIN_SAFE_INTEGER)	9007199254740991(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
非规格化	-2.225073858507201e-308	-5e-324	5e-324(Number.MIN_VALUE)	2.225073858507201e-308	x	x

IEEE 754可以表示的数值范围是：
$$[-1.7976931348623157\times 10^{308},-5\times 10^{-324}]\cup [5\times 10^{-324},1.7976931348623157\times 10^{308}]$$
超过1.7976931348623157e+308为Infinity，小于-1.7976931348623157e+308为-Infinity，在(-5e-324,5e-324)之间的数显示为0