解数独

题目

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）
   数独部分空格内已填入了数字，空白格用 ‘.’ 表示。

示例 1

输入：board =
[[“5”,“3”,“.”,“.”,“7”,“.”,“.”,“.”,“.”],[“6”,“.”,“.”,“1”,“9”,“5”,“.”,“.”,“.”],[“.”,“9”,“8”,“.”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”],[“8”,“.”,“.”,“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“3”],[“4”,“.”,“.”,“8”,“.”,“3”,“.”,“.”,“1”],[“7”,“.”,“.”,“.”,“2”,“.”,“.”,“.”,“6”],[“.”,“6”,“.”,“.”,“.”,“.”,“2”,“8”,“.”],[“.”,“.”,“.”,“4”,“1”,“9”,“.”,“.”,“5”],[“.”,“.”,“.”,“.”,“8”,“.”,“.”,“7”,“9”]]
输出：
[[“5”,“3”,“4”,“6”,“7”,“8”,“9”,“1”,“2”],[“6”,“7”,“2”,“1”,“9”,“5”,“3”,“4”,“8”],[“1”,“9”,“8”,“3”,“4”,“2”,“5”,“6”,“7”],[“8”,“5”,“9”,“7”,“6”,“1”,“4”,“2”,“3”],[“4”,“2”,“6”,“8”,“5”,“3”,“7”,“9”,“1”],[“7”,“1”,“3”,“9”,“2”,“4”,“8”,“5”,“6”],[“9”,“6”,“1”,“5”,“3”,“7”,“2”,“8”,“4”],[“2”,“8”,“7”,“4”,“1”,“9”,“6”,“3”,“5”],[“3”,“4”,“5”,“2”,“8”,“6”,“1”,“7”,“9”]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示

• board.length == 9
• board[i].length == 9
• board[i][j] 是一位数字或者 ‘.’
• 题目数据保证输入数独仅有一个解

解答

解题思路

我们可以考虑按照「行优先」的顺序依次枚举每一个空白格中填的数字，通过递归 + 回溯的方法枚举所有可能的填法。当递归到最后一个空白格后，如果仍然没有冲突，说明我们找到了答案；在递归的过程中，如果当前的空白格不能填下任何一个数字，那么就进行回溯。
由于每个数字在同一行、同一列、同一个九宫格中只会出现一次，因此我们可以使用 \textit{line}[i]，\textit{column}[j]，\textit{block}[x][y] 分别表示第 i 行，第 j 列，第 (x, y) 个九宫格中填写数字的情况。在下面给出的三种方法中，我们将会介绍两种不同的表示填写数字情况的方法。
九宫格的范围为 0 \leq x \leq 2 以及 0 \leq y \leq 2。 具体地，第 i 行第 j 列的格子位于第 (\lfloor i/3 \rfloor, \lfloor j/3 \rfloor) 个九宫格中，其中 \lfloor u \rfloor 表示对 u 向下取整。
由于这些方法均以递归 + 回溯为基础，算法运行的时间（以及时间复杂度）很大程度取决于给定的输入数据，而我们很难找到一个非常精确的渐进紧界。因此这里只给出一个较为宽松的渐进复杂度上界 O(9^{9 \times 9})，即最多有 9 \times 9 个空白格，每个格子可以填 [1, 9] 中的任意整数。
由于这些方法均以递归 + 回溯为基础，算法运行的时间（以及时间复杂度）很大程度取决于给定的输入数据，而我们很难找到一个非常精确的渐进紧界。因此这里只给出一个较为宽松的渐进复杂度上界 O(9^{9 \times 9})，即最多有 9 \times 9 个空白格，每个格子可以填 [1, 9] 中的任意整数。
最容易想到的方法是用一个数组记录每个数字是否出现。由于我们可以填写的数字范围为 [1, 9]，而数组的下标从 0 开始，因此在存储时，我们使用一个长度为 9 的布尔类型的数组，其中 i 个元素的值为 \text{True}，当且仅当数字 i+1 出现过。例如我们用 \textit{line}[2][3] = \text{True} 表示数字 4 在第 2 行已经出现过，那么当我们在遍历到第 2 行的空白格时，就不能填入数字 4。
我们首先对整个数独数组进行遍历，当我们遍历到第 i 行第 j 列的位置：

• 如果该位置是一个空白格，那么我们将其加入一个用来存储空白格位置的列表中，方便后续的递归操作；
• 如果该位置是一个数字 x，那么我们需要将 \textit{line}[i][x-1]，\textit{column}[j][x-1] 以及 \textit{block}[\lfloor i/3 \rfloor][\lfloor j/3 \rfloor][x-1] 均置为 \text{True}。

当我们结束了遍历过程之后，就可以开始递归枚举。当递归到第 i 行第 j 列的位置时，我们枚举填入的数字 x。根据题目的要求，数字 x 不能和当前行、列、九宫格中已经填入的数字相同，因此 \textit{line}[i][x-1]，\textit{column}[j][x-1] 以及 \textit{block}[\lfloor i/3 \rfloor][\lfloor j/3 \rfloor][x-1] 必须均为 \text{False}。

完整代码

class Solution {private boolean[][] line = new boolean[9][9];private boolean[][] column = new boolean[9][9];private boolean[][][] block = new boolean[3][3][9];private boolean valid = false;private List<int[]> spaces = new ArrayList<int[]>();public void solveSudoku(char[][] board) {for (int i = 0; i < 9; ++i) {for (int j = 0; j < 9; ++j) {if (board[i][j] == '.') {spaces.add(new int[]{i, j});} else {int digit = board[i][j] - '0' - 1;line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = true;}}}dfs(board, 0);}public void dfs(char[][] board, int pos) {if (pos == spaces.size()) {valid = true;return;}int[] space = spaces.get(pos);int i = space[0], j = space[1];for (int digit = 0; digit < 9 && !valid; ++digit) {if (!line[i][digit] && !column[j][digit] && !block[i / 3][j / 3][digit]) {line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = true;board[i][j] = (char) (digit + '0' + 1);dfs(board, pos + 1);line[i][digit] = column[j][digit] = block[i / 3][j / 3][digit] = false;}}}
}