回溯算法解数独问题（java版）

下面来详细讲一下如何用回溯算法来解数独问题。

下图是一个数独题，也是号称世界上最难的数独。当然了，对于计算机程序来说，只要算法是对的，难不难就不知道了，反正计算机又不累。回溯算法基本上就是穷举，解这种数独类的问题逻辑比较简单。

不管算法懂不懂，先把类建出来，变量定义好，那放大学试卷上就是可以拿两分了。

package shudu;/*** Created by wolf on 2016/3/17.*/
public class Sudoku {private int[][] matrix;public Sudoku(int[][] matrix) {this.matrix = matrix;}public static void main(String[] args) {// 号称世界上最难数独int[][] sudoku = {{8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 3, 6, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 7, 0, 0, 9, 0, 2, 0, 0},{0, 5, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 4, 5, 7, 0, 0},{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0},{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 6, 8},{0, 0, 8, 5, 0, 0, 0, 1, 0},{0, 9, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0}};Sudoku s = new Sudoku(sudoku);s.backTrace(0, 0);}/*** 数独算法* @param i* 行号* @param j* 列号*/private void backTrace(int i, int j) {}
}

用一个二维数组来存储这个矩阵，然后定义一个方法来计算。方法里有两个属性——行号和列号。

我们的原理就是从第0行0列开始，依次往里面填入1-9之间的数字，然后判断填入的这个数字是否能放进去（该行该列和它所在的小九宫格是否有重复数字）。如果能放进去，那么就继续用1-9去试该行的下一列。一直到该行的最后一列，然后换行继续重复上面的步骤（也就是执行backTrace方法）。一直执行到最后一个空格，也就是i=8,j=8的时候，且最后这个空格所放的值也完全符合规则，那么此时就算完成，不用再继续调用backTrace方法了，输出正确解即可。

所以回溯法样子看起来是这样的。给第一个空格填1-9中任何一个，开始判断，如果OK，然后进入下一层，如果不OK，就断掉了。下一层还是从1-9开始试，然后OK，不OK……当最终目标达到时，空格已填满又满足条件，那么中断该分支，输出结果。

继续我们的程序。

由于有些位置已经有数字了，所以我们需要判断，如果该坑已经有人蹲了，那么就把列号j加1，进入下一列。如果到第8列了，就换行。

修改程序如下：

package shudu;/*** Created by wolf on 2016/3/17.*/
public class Sudoku {private int[][] matrix;public Sudoku(int[][] matrix) {this.matrix = matrix;}public static void main(String[] args) {// 号称世界上最难数独int[][] sudoku = {{8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 3, 6, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 7, 0, 0, 9, 0, 2, 0, 0},{0, 5, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 4, 5, 7, 0, 0},{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0},{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 6, 8},{0, 0, 8, 5, 0, 0, 0, 1, 0},{0, 9, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0}};Sudoku s = new Sudoku(sudoku);s.backTrace(0, 0);}/*** 数独算法** @param i 行号* @param j 列号*/private void backTrace(int i, int j) {//如果i行j列是空格，那么才进入给空格填值的逻辑if (matrix[i][j] == 0) {for (int k = 1; k <= 9; k++) {//判断给i行j列放1-9中的任意一个数是否能满足规则if (check(i, j, k)) {//将该值赋给该空格，然后进入下一个空格matrix[i][j] = k;backTrace(i, j + 1);}}} else {//如果该位置已经有值了，就进入下一个空格进行计算backTrace(i, j + 1);}}/*** 判断给某行某列赋值是否符合规则** @param row    被赋值的行号* @param line   被赋值的列号* @param number 赋的值* @return*/private boolean check(int row, int line, int number) {//判断该行该列是否有重复数字for (int i = 0; i < 9; i++) {if (matrix[row][i] == number || matrix[i][line] == number) {return false;}}//判断小九宫格是否有重复int tempRow = row / 3;int tempLine = line / 3;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {if (matrix[tempRow * 3 + i][tempLine * 3 + j] == number) {return false;}}}return true;}
}

此时已经写好了判断某行某列赋某个值是否ok的方法，通过该方法就能校验出数字是否能放到该位置。

还缺少的是边界值的判断，就是当已经到最后一列了，还没到最后一行时，需要对行号加1，然后恢复列号为0。

修改一下backTrace方法，增加边界值判断。

package shudu;/*** Created by wolf on 2016/3/17.*/
public class Sudoku {private int[][] matrix;public Sudoku(int[][] matrix) {this.matrix = matrix;}public static void main(String[] args) {// 号称世界上最难数独int[][] sudoku = {{8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 3, 6, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 7, 0, 0, 9, 0, 2, 0, 0},{0, 5, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 4, 5, 7, 0, 0},{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0},{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 6, 8},{0, 0, 8, 5, 0, 0, 0, 1, 0},{0, 9, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0}};Sudoku s = new Sudoku(sudoku);s.backTrace(0, 0);}/*** 数独算法** @param i 行号* @param j 列号*/private void backTrace(int i, int j) {if (i == 8 && j == 9) {//已经成功了，打印数组即可System.out.println("获取正确解");printArray();return;}//已经到了列末尾了，还没到行尾，就换行if (j == 9) {i++;j = 0;}//如果i行j列是空格，那么才进入给空格填值的逻辑if (matrix[i][j] == 0) {for (int k = 1; k <= 9; k++) {//判断给i行j列放1-9中的任意一个数是否能满足规则if (check(i, j, k)) {//将该值赋给该空格，然后进入下一个空格matrix[i][j] = k;backTrace(i, j + 1);}}} else {//如果该位置已经有值了，就进入下一个空格进行计算backTrace(i, j + 1);}}/*** 判断给某行某列赋值是否符合规则** @param row    被赋值的行号* @param line   被赋值的列号* @param number 赋的值* @return*/private boolean check(int row, int line, int number) {//判断该行该列是否有重复数字for (int i = 0; i < 9; i++) {if (matrix[row][i] == number || matrix[i][line] == number) {return false;}}//判断小九宫格是否有重复int tempRow = row / 3;int tempLine = line / 3;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {if (matrix[tempRow * 3 + i][tempLine * 3 + j] == number) {return false;}}}return true;}/*** 打印矩阵*/public void printArray() {for (int i = 0; i < 9; i++) {for (int j = 0; j < 9; j++) {System.out.print(matrix[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println();}
}

可以看到，判断成功的标志是行号为8，且列号为9时，认为找到了正确解。为什么是9呢，因为在check(i,j,k)那一步，通过了的话，将值K赋给最后一个空格，此时并没有中断程序，而且进入了下一层循环backTrace（i，j + 1），所以i为8j为9时才是终解。程序到这里，运行一下看看，发现并没有任何输出值，并没有找到正确解，why？

下面要讲的就是该程序最关键的地方，也是比较难以理解的地方，就是对根节点的初始化。回溯算法讲究的是一条道走到黑，不撞南墙不回头，并且把所有的道都走完。

我们把问题简单化，譬如一共只有两个空格，只能放0和1，正确答案是00和11.我们给第一个空格放了0，此时我们不知道是否放了0之后，后面是否能完全正确的走完全程。就像走迷宫一样，你选择了第一个岔道，此时有可能第一个岔道就是错的，后面无论怎么走都对了不了，也有可能有多条道可以走。那么我们的做法是先第一步放0，发现没问题（符合只能放0和1的规则），然后走第二步，第二步如果走对了，那就直接走出去了，获得了一次正确的解（00）。如果第二步是个死胡同（01），那就要回头了，就是要回到原点，把第一步初始化一下，然后第一步走1，然后再继续后面的步骤。所以无论怎么样，你都需要在第二步走完之后，把第一步走的值给清掉，回归到原点。这样才能找到所有的正确路线。

问题放大一下，有N步（N未知），第一步有1-9共9种情况，第一步放了1，后面还有未知的步，那无论后面成功与否，你肯定都要去试第一步放2-9之间的数字。

看第51行for循环那里，第一次将数字1赋给第一个空格。然后判断是否OK，如果OK了，就进入第二个空格去了，后面具体走多少步我们就不管了，我们只需要在后面的走完之后，初始化第一个空格就行了。那要是不OK呢，不OK当然就不用管他了，这一层走完就没下文了，等于该分支就断了。所以我们要在第55行后面加一句初始化的操作matrix[i][j]=0.

完整代码如下：

package shudu;/*** Created by wolf on 2016/3/17.*/
public class Sudoku {private int[][] matrix;public Sudoku(int[][] matrix) {this.matrix = matrix;}public static void main(String[] args) {// 号称世界上最难数独int[][] sudoku = {{8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 0, 3, 6, 0, 0, 0, 0, 0},{0, 7, 0, 0, 9, 0, 2, 0, 0},{0, 5, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0},{0, 0, 0, 0, 4, 5, 7, 0, 0},{0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0},{0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 6, 8},{0, 0, 8, 5, 0, 0, 0, 1, 0},{0, 9, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0}};Sudoku s = new Sudoku(sudoku);s.backTrace(0, 0);}/*** 数独算法** @param i 行号* @param j 列号*/private void backTrace(int i, int j) {if (i == 8 && j == 9) {//已经成功了，打印数组即可System.out.println("获取正确解");printArray();return;}//已经到了列末尾了，还没到行尾，就换行if (j == 9) {i++;j = 0;}//如果i行j列是空格，那么才进入给空格填值的逻辑if (matrix[i][j] == 0) {for (int k = 1; k <= 9; k++) {//判断给i行j列放1-9中的任意一个数是否能满足规则if (check(i, j, k)) {//将该值赋给该空格，然后进入下一个空格matrix[i][j] = k;backTrace(i, j + 1);//初始化该空格matrix[i][j] = 0;}}} else {//如果该位置已经有值了，就进入下一个空格进行计算backTrace(i, j + 1);}}/*** 判断给某行某列赋值是否符合规则** @param row    被赋值的行号* @param line   被赋值的列号* @param number 赋的值* @return*/private boolean check(int row, int line, int number) {//判断该行该列是否有重复数字for (int i = 0; i < 9; i++) {if (matrix[row][i] == number || matrix[i][line] == number) {return false;}}//判断小九宫格是否有重复int tempRow = row / 3;int tempLine = line / 3;for (int i = 0; i < 3; i++) {for (int j = 0; j < 3; j++) {if (matrix[tempRow * 3 + i][tempLine * 3 + j] == number) {return false;}}}return true;}/*** 打印矩阵*/public void printArray() {for (int i = 0; i < 9; i++) {for (int j = 0; j < 9; j++) {System.out.print(matrix[i][j] + " ");}System.out.println();}System.out.println();}
}