离散傅里叶变换（DFT/IDFT、FFT/IFFT）运算量的讨论

article/2025/9/26 21:42:49

前言：关于为什么要写这个博客

最近在重新看《合成孔径雷达成像算法与实现》这本书，看到“离散傅里叶变换记其逆变换的运算量级为 $N^{2}$ ”这句话，就想起当初在学《数字信号处理》中FFT那章节时，书中有对比DFT和FFT的运算量的一些文字，完全想明白那个推导过程还是费了点劲儿的。再就是最近我的《数字图像处理》老师提到，要对比不同算法干一件事儿的效率，首先是要将两种算法的运算量或者说复杂度定量地表示出来（这个不能拿计算机处理数据的总时长来说事儿哈）。于是我萌生了写一个入门级别运算量分析和计算的博客，但是这里面会带入很多基础知识，所以对像我一样菜的人会比较友好，不过稍显冗余。

正文

一、一维信号的运算量

1.DFT/IDFT运算量说明

给定一个序列g(n)，初学的时候序列都是实序列，但是为了更一般一点儿，我想将其设定为复序列（就是说每个元素都是复数，可以写成 $a_{n}+ib_{n}$ 的标准形式）。首先我要扔出DFT/IDFT变换的两个公式：

$G(k) = \sum_{n=0}^{N-1}g(n)W_{N}^{nk}$ (1)

$IDFT:g(n) = \sum_{k=0}^{N-1}G(K)W_{N}^{-nk}$ (2)

其中， $W_{N} = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ ， $k,n\in [0,N-1]$ 且只取整数（下面就不再强调了）。

对（1）而言，k每取一个值（当然这个值的范围只能是[0,N-1]中的整数），比如k就取个2吧，那完整表达式就是：

$G(2) = g(0)W_{N}^{0*2}+g(1)W_{N}^{1*2}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*2}$ （3）

（按照 $W_{N}^{n*k}$ 顺序来看）

可以利用欧拉公式，将 $W_{N}^{n*k}$ 写成 $c_{n}+id_{k}$ 的形式，因此单单（3）这一个计算式，就要完成N次复乘和N-1次复加。而k可以取遍0~N-1这N个整数值，就是把上边那个过程重复了N次，我把这个计算过程稍微呈现一下：

$\\G(0) = g(0)W_{N}^{0*0}+g(1)W_{N}^{1*0}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*0}\\ G(1) = g(0)W_{N}^{0*1}+g(1)W_{N}^{1*1}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*1}\\ G(2) = g(0)W_{N}^{0*2}+g(1)W_{N}^{1*2}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*2}\\ \vdots\\ G(N-2) = g(0)W_{N}^{0*(N-2)}+g(1)W_{N}^{1*(N-2)}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*(N-2)}\\ G(N-1) = g(0)W_{N}^{0*(N-1)}+g(1)W_{N}^{1*(N-1)}+...+g(N-1)W_{N}^{(N-1)*(N-1)}\\$ （4）

（按照 $W_{N}^{n*k}$ 顺序来看）

我还想进一步地用矩阵来表示这个过程：

$\begin{bmatrix} G(0)\\ G(1)\\ G(2)\\ \vdots \\ G(N-2)\\ G(N-1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} W_{N}^{0*0} & W_{N}^{1*0} & \cdots & W_{N}^{(N-1)*0}\\ W_{N}^{0*1} & W_{N}^{1*1} & \cdots & W_{N}^{(N-1)*1}\\ W_{N}^{0*2} & W_{N}^{1*2} & \cdots & W_{N}^{(N-1)*2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ W_{N}^{0*(N-2)} & W_{N}^{1*(N-2)} & \cdots & W_{N}^{(N-1)*(N-2)}\\ W_{N}^{0*(N-1)} & W_{N}^{1*(N-1)} & \cdots & W_{N}^{(N-1)*(N-1)} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} g(0)\\ g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(N-2)\\ g(N-1) \end{bmatrix}$

（按照 $W_{N}^{n*k}$ 顺序来看）

不难看出，整个计算过程要经历 $N^2$ 次复乘和N*(N-1)≈ $N^2$ 次复加，相同地，IDFT的运算量与DFT是一样的。

结论就是，“离散傅里叶变换及其逆变换的运算量级为 $N^2$ ”。

2.FFT/IFFT运算量说明

到这个时候，书上往往就开始讲为什么要寻找一种新的离散傅里叶变换算法(即FFT)，说什么“DFT运算量太大，计算耗时特别长”云云，而我要说说为什么能够提出FFT，其实很简单，就一句话：因为 $W_{N}^{nk}=e^{-j\frac{2\pi}{N}*nk}$ 具有非常好的数学特性。举个例子，最常见的复指数函数 $f(t) = e^{-jw_{0}t}$ ,随着时间的推移，变量与函数值对应的坐标点一直在单位圆上转圈圈，存在 $e^{-jw_{0}(t+\frac{2\pi}{w_{0}})} = e^{-jw_{0}t}$ ,这呈现出良好的周期性。下面给出关于 $W_{N}$ 的一些重要数学特性：

首先明确这样几个式子：

$\\ W_{N}^{nN} = e^{-j\frac{2\pi}{N}*nN} = e^{-j2{\pi}n} = 1\\ W_{N}^{Nk} = e^{-j\frac{2\pi}{N}*Nk} = e^{-j2{\pi}k} = 1\\ W_{N}^{\frac{N}{2}} = e^{-j\frac{2\pi}{N}*\frac{N}{2}} = e^{-j{\pi}} = -1\\$ (5)

2.1 周期性：

对n的周期性： $W_{N}^{n(k+N)} = W_{N}^{nk}*W_{N}^{nN} = W_{N}^{nk}$

对k的周期性： $W_{N}^{(n+N)k} = W_{N}^{nk}*W_{N}^{Nk} = W_{N}^{nk}$

2.2 对称性：

对n的对称性： $[W_{N}^{nk}]^{*} = W_{N}^{-nk} = W_{N}^{(N-n)k}\\$

对k的对称性： $[W_{N}^{nk}]^{*} = W_{N}^{n*(-k)} = W_{N}^{n(N-k)}\\$

2.3其他性质

对n的性质： $W_{N}^{n+\frac{N}{2}} = W_{N}^{n}*W_{N}^{\frac{N}{2}} = -W_{N}^{n}$

$W_{N}^{2n} = e^{-j\frac{2\pi}{N}*2n} = e^{-j\frac{2\pi}{\frac{N}{2}}*n} = W_{\frac{N}{2}}^{n}$

对k的性质： $W_{N}^{k+\frac{N}{2}} = W_{N}^{k}*W_{N}^{\frac{N}{2}} = -W_{N}^{k}\\$

$W_{N}^{2k} = e^{-j\frac{2\pi}{N}*2k} = e^{-j\frac{2\pi}{\frac{N}{2}}*k} = W_{\frac{N}{2}}^{k}$

有了这些作为基础，FFT的过程就好理解了。再拿DFT的定义式说事儿，这次令时域序列为x(n),频域序列为X(k)：

$X(k) = DFT[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_{N}^{nk}$

假设序列长度N是2的整次幂（后面解释为什么是2的整次幂；显然N是个偶数），序列标号为0~N-1，现在来推导基2 FFT。将序列x(n)中的奇数标号的序列和偶数标号的序列分别提取出来，组成如下两个新的序列：

$\left\{\begin{matrix} x_{1}(r) = x(2r),\\ x_{2}(r) = x(2r+1) \end{matrix}\right.,r = 0,1,2...\frac{N}{2}-1$ (6)

值得注意的是，这两个序列的长度都是 $\frac{N}{2}$ 。计算X(k)是将整个序列x(n)分别与对应因子 $W_{N}^{nk}$ 相乘后求和，这也可以将序列的奇数标号部分和偶数标号部分分开，分别来做这个计算再求和（这就好比你要计算1+2+3+4+5+6+7+8，就等同于算(1+3+5+7)+(2+4+6+8))，计算过程就是：