写在前面

近期重温了一下可爱的数字信号处理，又回想起当初被 FT、DTFT、DFT、IDFT 这几兄弟折腾的傻傻分不清的日子，今天特地在此对它们进行一个梳理。
珠玉在前，非常感谢这篇文章的点拨：一幅图搞懂DFT与DTFT的关系

一切为了计算机的处理

我们知道，FT就是傅里叶变换，其可以将信号从时域变换到频域，但是此刻的信号无论在时域还是频域，都是连续的。
然而，计算机只能处理离散的数据，因此我们要在计算机中完成傅里叶变换，就需要在时域与频域对信号进行采样。

下面，我们通过作图的方式，来梳理一下从 FT 到 DFT 的心路历程。

推导步骤

1. 连续信号 x(t) ，经过傅里叶变换 FT 后，变成了 X(f)。（两域均连续，计算机无法处理）
2. 对 x(t) 在时域进行采样，得到 x(n) 。
3. 对 x(n) 进行 离散时间傅里叶变换（DTFT），得到 X(e^jw)。（频域连续，计算机依然无法处理）
4. 对 X(e^jw) 进行采样，并尝试通过逆离散傅里叶变换（IDFT）恢复出 x(n)，但是 x(n) 出现了周期延拓。依据时频域卷积定理，一个域的采样会导致另一个域的周期延拓。（两域离散，计算机可以处理，但是无法恢复原序列）
5. 因为 X(e^jw) 是周期为 2Π 的周期信号，因此，我们仅在主值区间对 X(e^jw) 进行采样，即可恢复出正确的原序列。

总结

1. FT 是针对连续信号的傅里叶变换，或者可以理解为傅里叶变换的统称
2. DTFT 是针对离散信号的傅里叶变换
3. DFT 是在 DTFT 的基础上，在频域的主值区间内采样得到的结果
4. FFT 是 DFT 的一种快速算法