MMSE信道估计学习笔记

article/2025/11/9 19:50:15

1.首先要理解什么叫最小均方误差，知道定义 $E(||e||^2)$

2.要知道MMSE存在“正交性原理”： $E({ey^H})=0$ ，即误差和观测值、估计值正交。

---其中，向量a,b内积的定义为 $ab^H$ ，随机向量内积定义为 $E\left \{ ab^H \right \}$ 。随机向量a,b正交就意味着 $E\left \{ ab^H \right \}= 0$ ，如果a，b其中有一个是0期望向量，可以得到列向量a和b的协方差矩阵为零矩阵 $Cov(a,b)=E\left \{ ab^H \right \}-E(a)E(b^H)=\bf0$ ，即列向量a和b不相关https://blog.csdn.net/memory513773348/article/details/17589889

3.MMSE的接收机设计原则：为了设计一个能够最小化MSE的接收机，因此写出MSE的表达式求导，其中二阶导数为正，因此MSE是凸函数，求凸函数最小值令一阶导数为0即可

4 线性LMMSE估计模型y=ax+b，其中x是待估计的随机变量，a\b是确定值（非随机）。对于高斯随机变量，MMSE与LMMSE等价。LMMSE很实用，因为他不需要具体变量的pdf，只需要变量的1-2阶统计特征（期望，协方差）

学习资料：

1.（非常好）https://marshallcomm.cn/2018/12/22/algorithm-mmse-detection/?fbclid=iwar0vrja7tdwfupi9ijdawrcgkjlz6wac9wj4jjhrcevbitgrixtvpcokio8

2. （很全面）https://blog.csdn.net/qq_23152205/article/details/108865536

3. （简单直观，利用了MMSE的正交性原理）https://blog.csdn.net/zhihuiyu123/article/details/83245946

4. （证明了为什么正交性原理和求导法是等价的，利用链式求导法则） https://www.docin.com/p-660734929.html

5. （MMSE的无偏性质和正交性准则）https://zhuanlan.zhihu.com/p/370949368

一些思考：

1.推导涉及到了对矩阵迹的导数，其中很重要的一点是X的共轭对X的导数是0（复变函数求导性质），矩阵迹的导数可以参考一篇文章[1] :TABLE V，此外为什么求tr(AXB)对X的导数会产生一个转置(BA)^T，可以参考这篇文章https://blog.csdn.net/asasasaababab/article/details/80262969，一个简单的理解就是对X求导的结果与X维度相同，X的行数是A的列数，如果对A转置那么就和X在行方向同维度了。同理如果是tr(AX^TB)对X的导数，因为A的行数和X相同，所以得到的结果就是(BA)

[1] A. Hjorungnes and D. Gesbert, "Complex-Valued Matrix Differentiation: Techniques and Key Results," in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 55, no. 6, pp. 2740-2746, June 2007.

2.推导出信道的MMSE估计值之后，要计算误差的协方差，其中一个是用到正交性原理，另外一个是用到Woodbury matrix identity

3.列向量X~CN(A,B),意味着B=Cov(X)=E(X*X^H)-E(X)E(X^H)

4. 导频信号x，噪声n，未知的信道h，得到观测信号y=hx+n，设计LMMSE接收机参数a,b,对观测信号y线性操作得到h的估计值 ^h= ay + b，其中a，b不是随机变量，是确定的值。估计误差e=h - ^h = h- (ay+b)，MSE为||e||^2=tr(ee^H)，正交性原理-误差和观测值正交，即E[e*y^H]=0. 如果b=0，那么误差e也和信道估计值^h正交：E[e*(^h)^H]=E[e*ay^H]=0，进一步如果e或者y其一期望是0，正交就可以导出不相关（事实上，基于MMSE的无偏性准则，我们知道e的期望是0）。要想y期望为0，只要h期望为0，因为噪声n期望必然是0.

5. 线性MMSE估计，估计值不受具体信道表达式影响，只是由信道的一阶（期望）和二阶（协方差）统计特性决定。无论是什么信道都不影响通用的表达式形式（只和期望、协方差有关）

6.阅读《Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory》第12、15章，尤其是几何理解部分，形象地说明了为什么存在估计和观测值的正交性