定义

MMSE (Minimum Mean Square Error)表示最小均方误差。
它是一种以最小化接收数据的MSE为目的的接收机模型。

过程

我们从以下最简单的信道模型开始：

MMSE是一种后处理均衡算法。

它用于找出尽可能接近原发送数据(X)的接收数据(Y)。

以下图示意，MMSE中最重要的步骤是找到图中的矩阵 G。

若理想情况下，假设无噪声，则 $G=H^{-1}$ 。

若有噪声，则需要使用可以反映噪声影响的模型G，MMSE刚好就是。

NOTE：在MMSE中，矩阵G应该是利用接收信号Y的统计特性使MSE最小化的矩阵。若y与误差e之间存在相关性，则该相关性应该能够用于降低e的范数。因此一定存在一个最佳点，此时y与e之间没有相关性。

因此矩阵G的表达式推导的依据便是y与e不相关。

如下图所示的表达式成立。其中，e=Gy-x。

将e代入均值表达式，并展开进行单纯的数学运算，可以得到如下图所示的G表达式：

然而此时接收机并不能计算出G，因为虽然y是收端已知数据，但若x并非导频RS而是用户数据的话，则其为未知量。因此，仍继续需要对组成G的两个E{}逐个分析。

1、E{yy^H}的分析如下：

至此，我们先确认下最终表达式里哪些是已知量，哪些是未知量：

H：信道矩阵，这里默认已经估计出来；

P：信号发射功率，已知；

噪声方差：虽然我们无法知道加到每个接收数据的确切噪声值，但是我们可以计算出噪声的长期统计特性，即噪声方差，所以该项也可以计算得到。

2、E{xy^H}的分析如下：

接下来，将两个E{}的结果代入到G的表达式中，即可得到一个接收端能够利用现有信息计算出来的矩阵G，G的最终表达是如下：

结论

通过以上推导过程，mmse算法计算矩阵G的数学过程已经清晰明了。但是由G的表达式可以看出，计算出G的前提是需要先知道信道矩阵H，这涉及另一个复杂的模块--信道估计，如有必要后续blog会继续更新。

NOTE：文中H的解释会因系统实现不同而不同。对于未进行任何放大或者预编码的系统，H仅表示无线信道的属性（如文中所示）。若在实现的过程中，有对信道进行了预编码和缩放的话，H表示包含预编码和缩放属性的无线信道矩阵，数学上将其表示为“Amp*H*P”,其中Amp是缩放幅值，H是无线信道，P是预编码矩阵。