常用转换公式

$$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$$

导数

$$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}$$
$$(a^x{)}^{\prime }=a^{x}lna$$

由反函数公式推导出的导数：$x=f(y)的反函数y=f^{-1}(x)$的导数$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$

$$(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$
$$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

三角函数：
$$(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x$$
$$(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x$$
$$(secx{)}^{\prime }=secxtanx$$
$$(cscx{)}^{\prime }=-cscxcotx$$

积分

换元积分法转换公式：
$$\int f(\theta (x)){\theta }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du{|}_{u=\theta (x)}$$

定积分求导数

$${\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt\right]}^{{}^{\prime }}=f[{\phi }_2(x)]{\phi }_2^{{}^{\prime }}(x)-f[{\phi }_1(x)]{\phi }_1^{{}^{\prime }}(x)$$

特别地：

$${\left[{\int }_a^{x}f(t)dt\right]}^{{}^{\prime }}=f(x)$$

万能公式

$$\int se{c}^{2}xdx=tanx$$
$$1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x$$
$$\int secxtanxdx=secx$$
$$\int secxdx=ln|secx+tanx|$$

速记

1. $\int tanxdx=-ln|cosx|$
2. $\int cotxdx=ln|sinx|$
3. $\int secxdx=ln|secx+tanx|$
4. $\int cscxdx=ln|cscx-cotx|$

微分方程求原函数

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$ 其通解为：

$$y=e^{-u}(\int Q(x)u+C)$$

其中$$u=e^{\int P(x)dx}$$