1. 概述

  维特比算法是安德鲁.维特比(Andrew Viterbi)于1967年为解决通信领域中的解码问题而提出的，它同样广泛用于解决自然语言处理中的解码问题，隐马尔可夫模型的解码是其中典型的代表。无论是通信中的解码问题还是自然语言处理中的解码问题，本质上都是要在一个篱笆网络中寻找得到一条最优路径。
  所谓篱笆网络，指的是单向无环图，呈层级连接，各层节点数可以不同。如图是一个篱笆网络，连线上的数字是节点间概念上的距离（如间距、代价、概率等），现要找到一条从起始点到终点的最优路径。

  在实际问题中，节点数和层数往往是大量的，因而采取遍历所有的路径计算其距离进行比较的方式是不可行的。维特比算法正是通过动态规划的方式高效求得这条最优路径。

2.算法原理

  该问题具有这样一个特性，对于最优（如最短距离）的路径，任意一段子路径一定是该段两端点间所有可达路径中最优的，如若不然，将该段中更优的子路径接到两端点便构成了另一个整体最优路径，这是矛盾的。或者说，最优路径中，从起始点到由近及远的任一点的子路径，一定是该段所有可达路径中最优的。也即，整体最优，局部一定最优。

  该特性也就是说，对每个节点而言，如果最优路径经过这一点，则一定是经过从起始点到这点的这段最优路径。那么，只要从头开始，由局部向整体推进，渐次地找到起始点到当前点的最优路径，算至终点便得到了整体最优路径。这样的方式叫做动态规划，是维特比算法的基本思想。

维特比算法求解篱笆网络最短路径的过程为：
  从第一层开始，对每一层的每一个节点，计算出起始点到它的最短距离，并记录下相应最短路径下它的前一个节点，逐层递推，算至终止点时便得到了整体最短距离，再依照节点记录下的前置节点进行回溯，就得到了最短路径的序列。对第$i$层第$j$个节点$P_{i,j}$，假设起始点到它的最短距离为$D\left(P_{i,j}\right)$，相应最短路径下它的前一个节点为$Pre\left(P_{i,j}\right)$，则

$$D\left(P_{i,j}\right)=\underset{1\le k\le N}{\min }\left[D_{i-1,k}+d(P_{i-1,k},P_{i,j})\right]$$
也就是，对前一层的所有节点，计算每一个节点的记录的最短距离D与它到当前节点的距离d的和，取其中最小的那个值（其中， $d(A,B)$表示A,B两节点间的距离。）.

$$Pre\left(P_{i,j}\right)=P_{i-1,j\ast }=arg\underset{1\le k\le N}{\min }\left[D_{i-1,k}+d(P_{i-1,k},P_{i,j})\right]$$
也就是，满足距离最短的那条路径上在前一层的节点.

3.示例

  在如下网络中，连线上的数字是节点间的距离，求S点到E点的最短距离和与之对应的路径。

第一层：
对节点$P_{1,1}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离$D(P_{1,1})=2$，前一个节点$Pre(P_{1,1})=S$；

对节点$P_{1,2}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离 $D(P_{1,2})=1$，前一个节点$Pre(P_{1,2})=S$；

对节点$P_{1,3}$，
起始点到它只有一条路径，最短距离$D(P_{1,3})=3$，前一个节点$Pre(P_{1,3})=S$ 。

第二层：
对节点 $P_{2,1}$，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,1})=2+3=5$，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,1})=1+2=3$ ，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,1})=3+9=12$，
最短距离 D ( P 2 , 1 ) = m i n { 5 , 3 , 12 } = 3 D(P_{2,1}) = min\left\{ 5,3,12 \right\} = 3 D(P2,1​)=min{5,3,12}=3，前一个节点$Pre(P_{2,1})=P_{1,2}$ ;

对节点$P_{2,2}$ ，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,2})=2+6=8$，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,2})=1+5=6$，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,2})=3+2=5$，
最短距离 D ( P 2 , 2 ) = m i n { 8 , 6 , 5 } = 5 D(P_{2,2}) = min\left\{ 8,6,5 \right\} = 5 D(P2,2​)=min{8,6,5}=5，前一个节点$Pre(P_{2,2})=P_{1,3}$ ;

对节点$P_{2,3}$，
$D(P_{1,1})+d(P_{1,1}，P_{2,3})=2+4=6$ ，
$D(P_{1,2})+d(P_{1,2}，P_{2,3})=1+7=8$，
$D(P_{1,3})+d(P_{1,3}，P_{2,3})=3+6=9$ ，
最短距离 D ( P 2 , 3 ) = m i n { 6 , 8 , 9 } = 6 D(P_{2,3}) = min\left\{ 6,8,9 \right\} = 6 D(P2,3​)=min{6,8,9}=6，前一个节点$Pre(P_{2,3})=P_{1,1}$ ;

第三层：
对节点 $P_{3,1}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,1})=3+9=12$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,1})=5+2=7$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,1})=6+6=12$，
最短距离 D ( P 3 , 1 ) = m i n { 12 , 7 , 12 } = 7 D(P_{3,1}) = min\left\{ 12,7,12 \right\} = 7 D(P3,1​)=min{12,7,12}=7，前一个节点$Pre(P_{3,1})=P_{2,2}$;

对节点$P_{3,2}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,2})=3+3=6$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,2})=5+6=11$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,2})=6+3=9$，
最短距离 D ( P 3 , 2 ) = m i n { 6 , 11 , 9 } = 6 D(P_{3,2}) = min\left\{ 6,11,9 \right\} = 6 D(P3,2​)=min{6,11,9}=6，前一个节点$Pre(P_{3,2})=P_{2,1}$;

对节点$P_{3,3}$，
$D(P_{2,1})+d(P_{2,1}，P_{3,3})=3+8=11$，
$D(P_{2,2})+d(P_{2,2}，P_{3,3})=5+7=12$，
$D(P_{2,3})+d(P_{2,3}，P_{3,3})=6+4=10$，
最短距离 D ( P 3 , 3 ) = m i n { 11 , 12 , 10 } = 10 D(P_{3,3}) = min\left\{ 11,12,10 \right\} = 10 D(P3,3​)=min{11,12,10}=10，前一个节点$Pre(P_{3,3})=P_{2,3}$;

第四层（终点）：
对节点 $E$，
$D(P_{3,1})+d(P_{3,1}，E)=7+3=10$，
$D(P_{3,2})+d(P_{3,2}，E)=6+7=13$，
$D(P_{3,3})+d(P_{3,3}，E)=10+6=16$，
最短距离 D ( E ) = m i n { 10 , 13 , 16 } = 10 D(E) = min\left\{ 10,13,16 \right\} = 10 D(E)=min{10,13,16}=10，前一个节点$Pre(E)=P_{3,1}$;

又$Pre(E)=P_{3,1}$，$Pre(P_{3,1})=P_{2,2}$，$Pre(P_{2,2})=P_{1,3}$，$Pre(P_{1,3})=S$
故最短距离为10，与之对应的路径为（$S$，$P_{1,3}$，$P_{2,2}$，$P_{3,1}$，$E$）.

End.

参考

1. 吴军. 数学之美(第二版). 人民邮电出版社.
2. 李航. 统计学习方法. 清华大学出版社.