【笔记】概统论与数理统计第五章知识点总结

article/2025/10/9 7:33:21

正态分布是自然界中最常见的分布，很多特征都服从正态分布，背后的原理是中心极限定理

1. 标准正态分布X~N(0, 1)

2. 一般正态分布𝐗~𝐍(𝝁, $\sigma^2$ )

正态分布的数字特征： 设随机变量 X ∼ N(µ, $\sigma^2$ ), 则 E(X) = µ, D(X) = $\sigma^2$
正态分布的线性性质：设 X ∼ N(µ, $\sigma^2$ ), 当 b = 0 时, 有 Y = a + bX ∼ N(a + bµ, $b^2\sigma^2$ ).
正态分布的可加性（可推广）

二维正态分布(X, Y) ∼ N( $\mu_1$ , $\mu_2$ ; $\sigma_1^2$ , $\sigma_2^2$ ; r)
二维密度函数
- |r| < 1，r=R(X, Y) 是X，Y的相关系数
二维正态分布的边缘分布
二维正态分布的独立性：设 (X, Y) ∼N( $\mu_1$ , $\mu_2$ ; $\sigma_1^2$ , $\sigma_2^2$ ; r)，则 X 与 Y 相互独立的充要条件为相关系数 r = 0
二维正态分布的条件分布仍然是正态分布：X1 和 X2 独立, 并且都服从一维的标准正态分布
二维标准正态分布：N(0, 0; 1, 1; 0)
正态分布的判别方法：二维随机变量 (X, Y) 服从二维正态分布的充要条件是 X 和 Y 的任意非零线性组合 Z = aX + bY 服从一维正态分布, 即 Z ∼ N(E(Z), D(Z))
正态分布的线性性质：假设 (X, Y) 是二维正态分布的随机变量，那么，设 U = aX + bY, V = cX + dY。则(U, V) 也服从二维正态分布