【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)

---

title: 【概率论】5-10:二维正态分布(The Bivariate Normal Distributions)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Bivariate Normal Distributions
toc: true
date: 2018-04-05 22:03:55

Abstract: 本文介绍第一个多变量连续分布——双变量正态分布(本篇内有未证明定理，需要后续要补充 )
Keywords: The Bivariate Normal Distributions

开篇废话

今天的废话想说说我们周围会有各种各样的事，各种各样的诱惑，各种各样的理由来告诉我们读书学习很苦而不学习也可以活的很好，但是坚持还是放弃只能选择一次，所以要慎重，开弓没有回头箭，放弃学习，就相当于放弃了一条抗争的路。

万般皆下品惟有读书高

今天我们来研究双变量的正态分布，多变量，连续分布。
对于某些研究者，可能用正态分布来非常好的描述某个随机变量，那么如果我们有两个随机变量，都可以用正态分布描述，而且他们之间存在关系，这时候我们就可以用一个双变量正态分布来描述了这两个变量之间的关系，并且这个二维分布的边缘分布，还是这两个随机变量单变量的分布。5.6中 我们介绍了某些有正态分布的独立随机变量的线性组合还是正态分布。但是双变量正态分布（联合分布）可以是相关的。

Definition and Derivation of Bivariate Normal Distributions

Theorem Suppose that Z1Z_1Z1​ and Z2Z_2Z2​ are independent random variables,each of which has the standard normal distribution.Let μ1,μ2,σ1,σ2\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2μ1​,μ2​,σ1​,σ2​ ,and $\rho$ be constants such that −∞&lt;μi&lt;∞(i=1,2)-\infty&lt;\mu_i&lt;\infty(i=1,2)−∞<μi​<∞(i=1,2) , σi&gt;0(i=1,2)\sigma_i&gt;0(i=1,2)σi​>0(i=1,2) ,and $-1<\rho <1$ . Define two new random variables X1X_1X1​ and X2X_2X2​ as follows:
(5.10.1)X1=σ1Z1+μ1X