前言

最近在写一篇文章，是一篇深度学习与安全相结合的文章，模型的输出会交给两个损失函数（availability & security）进行损失计算，进而反向传播。起初的想法是直接将两项损失进行加权平均，共同进行反向传播，后面又尝试了先A后B和先B后A的方式。发现模型训练的效果不是很好，因为这两个损失在进行下降时是一种相互制约的关系，如图1所示（侧面也反映了自己设计的连个损失方向是对的）。在epoch到达30w次之后，两者分道扬镳。

考虑到多任务之间的制约，尝试使用多目标优化的方法对两个损失函数进行优化，以获得使两种损失同时较小的一种嵌入，然后再将此满足条件的嵌入作为模型的训练目标，分步完成模型的训练。但是在研究了多目标优化的算法之后，打消了这个念头，因为我模型的输出维度很高，他是一张图的邻接矩阵的一维展开（adj.view(-1)），是百万维级别的，所以使用传统多目标优化的方法（例如遗传算法）过于复杂，所以就发现了这一篇名为Multi-Task Learning as Multi-Objective Optimization的文章。下面简单的介绍一下这篇文章。

Multi-Task Learning as Multi-Objective Optimization

作者在文章的摘要中说：“多任务学习本质上是一个多目标的问题，因为不同的任务可能会发生冲突，需要进行权衡。一个常见的折衷办法是优化一个代理目标，使每个任务损失的加权线性组合最小。然而，这种变通方法只有在任务不竞争的情况下才有效，而这种情况很少发生。在本文中，我们明确地将多任务学习作为多目标优化，其总体目标是找到一个帕累托最优解。”

这个是文章为何能够适用于我的问题的原因。细节不做过多介绍，在阅读过程中发现网上有不少对于这篇文章原理的解释，大家有疑问可以自行查看。

对Multi-Task Learning as Multi-Objective Optimization方法进行尝试

Solving the Optimization Problem

这是文章中的一段话。在处理一般情况之前，先处理只有两个优化目标的一般情况。此时的优化目标是一个一元二次函数： $min_{\alpha\in[0,1]}||\alpha\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{\mathcal{L}}^1+(1-\alpha)\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{\mathcal{L}}^2||^2_2$ ，其解为：

$\alpha = \left [ \frac{(\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{L}^2-\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{L}^1)^T\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{L}^2}{||\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{L}^1-\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\hat{L}^2||_2^2} \right ]_+$

同时，作者又介绍道，对于每一个任务t，都需要计算 $\bigtriangledown_{\theta^{sh}}\mathcal{\hat{L}}(\theta^{sh},\theta^t)$ ，而参数 $\theta^{sh}$ 在反向传播阶段恰好是多任务共享的参数，所以在反向传播阶段需要计算T次。因此作者为了降低计算复杂度，确定了优化问题的上界。

其中Z为表示层的输出，也就是共享参数的各层最后的输出。

又因为 $\left | \frac{\partial Z }{\partial \theta^{sh}}\right |^2$ 与 $\alpha$ 无关，所以在优化中会被移除。因此使用以下上界来优化目标。

应用

根据以上分析，我对自己的模型进行了改进，先分享一下源代码：

grads = {}#这个函数是为了获取中间变量的梯度，我方案中的Z不是一个叶子结点，所以其梯度在反向传播之后不会被保存
def save_grad(name):def hook(grad):grads[name] = gradreturn hookdef MTL(loss, Floss):'''使用多任务学习的多个梯度来决定最终梯度:param loss: 损失1:param Floss: 损失2:return:'''Z.register_hook(save_grad('Z'))#对loss进行反向传播，获取各层的梯度loss.backward(retain_graph = True)theta1 = grads['Z'].view(-1)#将计算图中的梯度清零，准备对第二种loss进行反向传播optimizer.zero_grad(retain_graph = True)Floss.backward()theta2 = grads['Z'].view(-1)#alpha解的分子部分part1 = torch.mm((theta2 - theta1), theta2.T)#alpha解的分母部分part2 = torch.norm(theta1 - theta2, p = 2)#二范数的平方part2.pow(2)alpha = torch.div(part1, part2)min = torch.ones_like(alpha)alpha = torch.where(alpha > 1, min, alpha)min = torch.zeros_like(alpha)alpha = torch.where(alpha < 0, min, alpha)#alpha theta1 & (1 - alpha) theta2#将alpha等维度拓展alpha1 = alphaalpha2 = (1 - alpha)#将各层梯度清零optimizer.zero_grad()#根据比率alpha1 & alpha2分配Loss1和Loss2的比率MTLoss = alpha1 * loss + alpha2 * FlossMTLoss.backward()

在我自己的方案中，其实也是进行了三次反向传播，其实可以只计算出表示层的输出Z的梯度，然后根据梯度计算alpha，直接将两种Loss分配权重，但是这里的操作我并没有实现，因为每次backward()之后，其实是进行了一次完整的反向传播，如果不进行backward()又没有办法快速求出Z的梯度。所以我还没研究清楚如何进行控制，如果大家有解决的方法，也希望能够不吝赐教。

在这里我为何还要使用Z而不是表示层的梯度，是因为我的表示层的权重矩阵是一个多维的变换矩阵，所以在进行帕累托最优求解的时候比较麻烦，而表示层的输出Z，是一个一维的向量，进行帕累托最优解寻找的过程比较简单，方便计算。当然这也只是我在阅读完文献后的第一次尝试，可能在理解上还有很多错误，后面会不断进行改进。