目录

一：连续信源

              最大熵定理

二：渐进均分性

           1：随机变量收敛性

             2：大数定律

               3：AEP(渐进均分性)

                  4：典型集

三：数据压缩

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一：连续信源

1）连续随机变量的微分熵

由概率密度函数可知：被积函数和区间的积分表示的是发生的概率。

由于：连续随机变量的取值是无限个，不确定性为无限大。确定输出某值的信息量也是无穷大，这里丢掉无穷大那一项，只取前面那个定值第一项，取名为微分熵。微分熵具有相对意义，比如比较两个连续随机变量不确定性的大小，由于无穷项被抵消，所以只讨论优先向是有意义的。

 微分熵与离散熵的区别：
         1： 微分熵去掉了无限项，不可以作为连续随机变量的真正不确定性的测量。
         2：连续随机变量每一点取值为零，定义的自信息是无意义的，不能把微分熵视为：自信息量的统计平均。
连续随机变量的微分熵与绝对熵区别：

其他微分熵

记住：这个结论。
互信息：

最大熵定理
 

TH1:设X是取值受限于有限区间[a,b],则：X服从均匀分布时微分熵达到最大。（幅值受限）
TH2:设x均值为u，方差受限为，则X服从高斯分布时，熵值达最大。（方差受限）

二：渐进均分性

1：随机变量收敛性

随机变量序列收敛于一个随机变量有三种定义形式：依概率收敛，均方收敛，几乎处处收敛。
三种证明上都用到极限的语言。

2：大数定律

补充：i.i.d是独立同分布的意思，大数定律分为强大数定律和弱大数定律两种形式。

强大数定律想证明：采样的次数越多，平均值几乎一定越来接近真实期望值；

弱大数定律想证明：采样的次数越多，平均值接近真实期望值的可能性越来越大。

 3：AEP(渐进均分性)

这一定理表明如果随机变量序列是独立同分布的，那么当序列的个数足够大时，它们的联合分布概率除以-n会趋近于它们的熵。而且也表明了它们的的总概率的和逐渐趋近于1。
变形：

4：典型集

第2个结论说明：n足够大，典型集中的事件概率接近1，三四个结论给出典型集的元素个数上界和下界。

三：数据压缩

信源编码的核心：想要在误码率几乎为0的基础上（无损），使得信源编码的信息传输率尽可能小，也就是表示的码元符号少。
由于事件发生的概率不一样，所以可以不编码或者用多码字编码，而经常出现的概率大的事件要用马字短的编码。

编码方式：区分典型集和非典型集，然后在典型集前加0，非典型集前加1.

这个定理说明了：序列平均上最少用：nH(X)比特去表示。

如果：编码码率不能少于信源熵，那么不会存在一种正确的编码方式。