正态分布(Normal distribution)

article/2025/9/18 10:30:19

目录

概念

性质

标准正态分布

 "3σ"法则

参考资料

概念

若连续性随机变量X的概率密度为

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}} ,-\infty <x<+\infty ,

其中 \mu 为平均数，\sigma 为标准差，\mu ,\sigma (\sigma >0) 为常数，则称X服从参数为 \mu ,\sigma 的正态分布(Normal distribution)或高斯(Gauss)分布，记为X\sim N(\mu ,\sigma ^2).

X的分布函数为

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma ^2}}dt

1.正态分布的图形

性质

  • 曲线关于 x=\mu 对称，这表明对于任意 h>0 有

 P\left \{ \mu -h<X\leqslant \mu \right \}=P\left \{ \mu <X\leqslant \mu+h \right \} .

  • 当 x=\mu 时，取到最大值 

 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma} .

  • x 离 \mu 越远，f(x) 的值越小，表明对于同样长度的区间，当区间离 \mu 越远，X落在这个区间上的概率越小.
  • 在 x=\mu \pm \sigma 处曲线有拐点. 曲线以 Ox 轴为渐近线.
  • 固定 \sigma ，改变 \mu 的值，正态分布图形沿着 Ox 轴平移，而不改变其形状. 正态分布的概率密度曲线 y=f(x) 的位置完全由参数 \mu 所确定，\mu 称为位置参数.
  • 固定 \mu ，改变 \sigma 的值，由于最大值  f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma}，可知当 \sigma 越小时，图形变得越尖，因而X落在  \mu 附近的概率越大.

标准正态分布

当 \mu =0,\sigma =1 时称随机变量X服从标准正态分布.

 标准正态分布的概率密度：

\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-x^2/2}

标准正态分布的分布函数：

\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{x}e^{-t^2/2}dt

易知

\phi (-x)=1-\phi(x)

 "3σ"法则

P\left \{ \mu -\sigma <X< \mu +\sigma\right \} =\phi (1)-\phi(-1)=2\phi (1)-1=68.26%

P\left \{ \mu -2\sigma <X< \mu +2\sigma\right \} =\phi (2)-\phi(-2)=95.44%

P\left \{ \mu -3\sigma <X< \mu +3\sigma\right \} =\phi (3)-\phi(-3)=99.74%

尽管正态变量的取值范围是 (-\infty ,\infty)，但它的值落在 (\mu -3\sigma,\mu +3\sigma) 几乎是肯定的事.

参考资料

  • 《概率论与数理统计》第四版, 盛聚, 谢式千, 潘承毅.


http://chatgpt.dhexx.cn/article/QIZsmj7P.shtml

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