目标

对于游戏行业程序员来说，向量“点乘”和“叉乘”是非常熟悉的运算。从代码上看他们运算过程并不复杂：（以下代码选自UE4的“Vector.h”）

点乘就是各分量逐项相乘，最终得到了一个标量：

FORCEINLINE float FVector::DotProduct(const FVector& A, const FVector& B)
{return X*V.X + Y*V.Y + Z*V.Z;
}

叉乘最终得到一个新的向量，虽然其运算现在看起来略显“奇怪”（不过，在随后的证明中可以看出其重要的几何意义）：

FORCEINLINE FVector FVector::CrossProduct(const FVector& A, const FVector& B)
{return FVector(Y * V.Z - Z * V.Y,Z * V.X - X * V.Z,X * V.Y - Y * V.X);
}

即：
$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$

$\vec{a}\times\vec{b} = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b)$

他们各自都有重要的几何意义，经常会出现在有关空间计算的逻辑中，例如：

标准化后向量点乘得到的值为夹角的余弦。这样，只要计算点乘，得到-1~ 0 ~1，便可知道两个向量之间方向的关系是相反 ~ 垂直 ~ 相同。
向量叉乘后得到的新向量一定和原先两个向量垂直。
向量叉乘后得到的向量的模，其值为两个向量构成的三角形的面积的二倍。

向量点乘和叉乘的这些特性经常被使用，但是对于其中的数学原理我是模糊不清的，因此我想自己动手证明一下。

而为了让这些证明得更容易，我还需要在此之前证明其基于的一些定理。

1. 证明：勾股定理

定理：
对于一个直角三角形ABC，其中直角为∠BAC，有：
$BC^2=AB^2+AC^2$

其证明网上有很多种，下面的方法据说来自于欧几里得的《几何原本》。
在这里插入图片描述
（图片来源勾股定理_百度百科）

由于三角形FBC 和正方形GFBA 同底等高，所以有：
$S_{FBC}\times2=S_{GFBA}$

由于三角形FBC 和三角形ABD 为全等三角形，所以有：
$S_{FBC}=S_{ABD}$

由于三角形ABD 和矩形BDLK 同底等高，所以有：
$S_{ABD}\times2=S_{BDLK}$

因此：
$S_{GFBA}=S_{FBC}\times2=S_{ABD}\times2=S_{BDLK}$

同理：
$S_{ACIH}=S_{KLEC}$

（即图中粉色正方形的面积等于粉色矩形的面积，蓝色正方形的面积等于蓝色矩形的面积）

因此：
$\begin{aligned} BC^2 & =S_{BDEC}\\ & =S_{BDLK}+S_{KLEC}\\ & =S_{GFBA}+S_{ACIH}\\ & = AB^2+AC^2\\ \end{aligned}$

2. 证明：余弦定理

定理：
对于任意一个三角形ABC，有：
$AB^2=BC^2+AC^2-2BC \cdot AC \cdot cosC$

证明网上也有很多种，下面的方法据说也来自于欧几里得的《几何原本》。
在这里插入图片描述

在直角三角形ADC中，有：
$\cdot sinC$

$\cdot cosC$

在CB边上，有：
$\cdot cosC$

在直角三角形ADB中，由勾股定理可得：
$\begin{aligned} AB^2 & =AD^2+DB^2\\ & =(AC \cdot sinC)^2+(BC- AC \cdot cosC)^2\\ & =AC^2\cdot sinC^2+BC^2+AC^2\cdot cosC^2-2BC \cdot AC \cdot cosC\\ & =BC^2+AC^2\cdot sinC^2+AC^2\cdot cosC^2-2BC \cdot AC \cdot cosC\\ & =BC^2+AC^2(sinC^2+cosC^2)-2BC \cdot AC \cdot cosC\\ & =BC^2+AC^2-2BC \cdot AC \cdot cosC\\ \end{aligned}$

3. 证明：向量点乘的几何意义——结果为模相乘再乘夹角余弦

向量点乘的定义如下：
$\vec{a}\cdot\vec{b} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$

现在想证明的是：（其中θ为两向量夹角）
$\vec{a}\cdot\vec{b} =\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

在证明前，先看一个算不上是“定理”的结论：
对于一个2维的向量(x,y)，由于坐标系是垂直的，所以由勾股定理很容易能推导出
$2维向量长度^2=x^2+y^2$

对于一个3维的向量(x,y,z)，也可以很容易能推导出：
$3维向量长度^2=x^2+y^2+z^2$

下面正式开始证明：
在这里插入图片描述

如果将向量a和向量b的起点放在一起，那么这两个向量终点之间的向量即为 a-b。

而根据余弦定理，有：
$\left \| \vec{a} -\vec{b} \right \|^2=\left \| \vec{a} \right \|^2 +\left \| \vec{b} \right \|^2 -2\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$
写成分量的形式，就是：
$((x_a,y_a,z_a)-(x_b,y_b,z_b))^2=(x_a,y_a,z_a)^2+(x_b,y_b,z_b)^2-2\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

向量相减即各分量相减，即：
$(x_a-x_b,y_a-y_b,z_a-z_b)^2=(x_a,y_a,z_a)^2+(x_b,y_b,z_b)^2-2\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

将平方的运算展开：
$x_a^2+x_b^2-2x_ax_b+y_a^2+y_b^2-2y_ay_b+z_a^2+z_b^2-2z_az_b=x_a^2+x_b^2+y_a^2+y_b^2+z_a^2+z_b^2-2\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

去掉等式两边重复项可得：
$-2x_ax_b-2y_ay_b-2z_az_b=-2\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

约去-2得：
$x_ax_b+y_ay_b+z_az_b=\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

结合向量点乘的定义，则最后可知：
$\begin{aligned} \vec{a}\cdot\vec{b} & =x_ax_b+y_ay_b+z_az_b \\ & =\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta \\ \end{aligned}$

4. 证明：向量叉乘的几何意义——结果与原先两个向量都垂直

向量叉乘的定义如下：
$\vec{a}\times\vec{b} = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b)$

由前面证明的向量点乘的几何意义可知，
如果能证明：

$(\vec{a}\times\vec{b} )\cdot \vec{a}=0$

$(\vec{a}\times\vec{b} )\cdot \vec{b}=0$

则意味着向量叉乘的结果向量，和原先两个向量的夹角的余弦值都为0，即夹角为90°，即与原先两个向量都垂直

而这个证明可以直接从算式中得出：
$\begin{aligned} (\vec{a}\times\vec{b} )\cdot \vec{a} & = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b) \cdot (x_a,y_a,z_a) \\ & =y_az_bx_a-z_ay_bx_a+z_ax_by_a-x_az_by_a+x_ay_bz_a-y_ax_bz_a\\ & =(y_az_bx_a-x_az_by_a)+(x_ay_bz_a-z_ay_bx_a)+(z_ax_by_a-y_ax_bz_a)\\ & =0+0+0\\ & =0\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} (\vec{a}\times\vec{b} )\cdot \vec{b} & = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b) \cdot (x_b,y_b,z_b) \\ & =y_az_bx_b-z_ay_bx_b+z_ax_by_b-x_az_by_b+x_ay_bz_b-y_ax_bz_b\\ & =(y_az_bx_b-y_ax_bz_b)+(z_ax_by_b-z_ay_bx_b)+(x_ay_bz_b-x_az_by_b)\\ & =0+0+0\\ & =0\\ \end{aligned}$

5. 证明：向量叉乘的几何意义——结果的模为原先两向量的模相乘再乘夹角正弦

向量叉乘的定义如下：
$\vec{a}\times\vec{b} = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b)$

现在想证明的是：（其中θ为两向量夹角）
$\left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| =\left \| \vec{a} \right \|\left \| \vec{b} \right \|sin\theta$

（方法来自于《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》）

取向量叉乘结果的平方，逐步展开：
$\begin{aligned} \left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| ^2 & = (y_az_b-z_ay_b,z_ax_b-x_az_b,x_ay_b-y_ax_b)^2 \\ & = (y_az_b-z_ay_b)^2+(z_ax_b-x_az_b)^2+(x_ay_b-y_ax_b)^2 \\ & = (y_a^2z_b^2+z_a^2y_b^2-2y_az_bz_ay_b)+(z_a^2x_b^2+x_a^2z_b^2-2z_ax_bx_az_b)+(x_a^2y_b^2+y_a^2x_b^2-2x_ay_by_ax_b) \\ & = (y_a^2z_b^2+z_a^2y_b^2+z_a^2x_b^2+x_a^2z_b^2+x_a^2y_b^2+y_a^2x_b^2)+(-2y_az_bz_ay_b-2z_ax_bx_az_b-2x_ay_by_ax_b)\\ \end{aligned}$

下面便出现了我觉得这种证明方法比较“魔法”的一个操作，对于等号右侧：
左部分先加上了 $x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2+z_a^2z_b^2)$ ，右部分再减去它。一番“折腾”之后，虽然结果未受影响，但是却让左部分凑出了原先两向量的模的形式，右部分凑出了向量点乘的形式，具体来看：
$\begin{aligned} \left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| ^2 & = (y_a^2z_b^2+z_a^2y_b^2+z_a^2x_b^2+x_a^2z_b^2+x_a^2y_b^2+y_a^2x_b^2)+(x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2+z_a^2z_b^2)+(-2y_az_bz_ay_b-2z_ax_bx_az_b-2x_ay_by_ax_b)-(x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2+z_a^2z_b^2)\\ & = (y_a^2z_b^2+z_a^2y_b^2+z_a^2x_b^2+x_a^2z_b^2+x_a^2y_b^2+y_a^2x_b^2+x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2+z_a^2z_b^2)-(x_a^2x_b^2+y_a^2y_b^2+z_a^2z_b^2+2y_az_bz_ay_b+2z_ax_bx_az_b+2x_ay_by_ax_b)\\ & = (x_a^2+y_a^2+z_a^2)(x_b^2+y_b^2+z_b^2)-(x_ax_b+y_ay_b+z_az_b)^2\\ & =\left \| \vec{a} \right \|^2\left \| \vec{b} \right \|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\\ \end{aligned}$

而根据前面证明的向量点乘的几何意义可知：
$\vec{a}\cdot\vec{b} =\left \| \vec{a} \right \|\cdot\left \| \vec{b} \right \|cos\theta$

所以：
$\begin{aligned} \left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| ^2 & = \left \| \vec{a} \right \|^2\left \| \vec{b} \right \|^2-\left \| \vec{a} \right \|^2\left \| \vec{b} \right \|^2\cdot (cos\theta)^2\\ & = \left \| \vec{a} \right \|^2\left \| \vec{b} \right \|^2\cdot (1- (cos\theta)^2) \end{aligned}$

又因为【 $(cos\theta)^2+(sin\theta)^2=1$ 】一定成立
所以：
$\left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| ^2= \left \| \vec{a} \right \|^2\left \| \vec{b} \right \|^2\cdot (sin\theta)^2$

开方得：
$\left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \|= \left \| \vec{a} \right \|\left \| \vec{b} \right \|\cdot sin\theta$

6. 证明：向量叉乘的几何意义——结果的模为原先两向量构成三角形的面积二倍

在前者证明之后，此证明变得很容易，因为：

$\left \| \vec{b} \right \|\cdot sin\theta$ 的长度就是以a为底边的三角形的高度：

在这里插入图片描述
所以：
$\begin{aligned} \left \|\vec{a}\times\vec{b}\right \| & = \left \| \vec{a} \right \|\left \| \vec{b} \right \|\cdot sin\theta\\ & = (\left \| \vec{a} \right \|)\times (\left \| \vec{b} \right \|\cdot sin\theta)\\ & = 底 \times 高\\ & = 2\times (\frac{底 \times 高}{2})\\ & = 2\times S_{三角形} \end{aligned}$