1 分支过程

1.1 工作原理

• 第一波疫情
  • 假设一个人携带一种新的病毒，以独立的概率p将疾病传染给遇到的每一个人
  • 假设这个人在感染期遇到了k个人
    • ——>这k个人是该疾病传染的第一波
    • 基于疾病是随机传染的，所以第一波中有些人会感染疾病，有些人则不会
• 第二波疫情
  • 第一波疫情的每个人进入到人群中，又分别遇到k个不同的人
    • 第二波疫情涉及的人数为
• 随后的疫情波
  • 同理，每波传p个人

• 图b表示疾病传染性比较强的情况
• 图c表示疾病传染性比较弱的情况（第二波之后，就没有人感染了，疾病传播也就至此终结了）

  

• 疾病传播的分支过程模型实际上只有两种可能性：
  • 达到某一疫情波没有人感染
    • ——>疾病之后便消失
  • 继续在每个疫情波中传染给某些人，这个过程持续下去

 1.2 基本再生数R0

• 一个个体引发新病例的期望值
  • 在分支过程模型中，每个人会接触k个人，每个人受感染的概率为p
  • ——>基本再生数R0=pk
• 对于分支模型来说：
  • 如果R0<1，那么疾病将在有限的疫情波之后，以概率1消失
    • 疾病规模总体呈下降趋势，即使偶尔因为随机波动而增长
  • 如果R0＞1，那么疾病持续在每一波中，以大于0的概率至少传染给一个人
    • 以大于0的概率持续传播，并不是绝对会持续传播
  • ——>尽管很难掌握具体的疾病持续、消亡时间，但是基本再生数R0是刻画疾病传播力的非常有效的近似值
  • 原来R0略低于1，如果此时传染概率p/接触人数k 略微增加，使得R0高于1
    • ——>此时会造成疾病的突然爆发
    • 反之亦然
  • ——>减少疾病的传染概率、减少人们接触的人数，都会阻止、缓解疾病的传播速度

• 如果不是分支模型的话，上述R0的结论不一定成立，比如下面这个非树形网络
• 
• 我们记传染概率p为2/3
• 此时我们使用R0的定义：单一节点产生新病例数的期望值
  • 每个受感染的节点连接着下一层的两个节点
  • 每个节点被传染的概率是2/3
  • —>单个节点产生的新病例数的期望值是4/3
• 此时R0>1，但这时疾病会在有限的时间内消失
  • 每一层有四条边连接到下一层
  • 每一条边没能传播疾病的概率是1/3
  • 四条边都不传播疾病的概率是
  • 这种疾病期望在81波后消失

疾病传播在不同的网络中可能有着显著不同的结果！ 即使疾病的传染性等特征都一样。

2 SIR模型

2.1 疾病传播三阶段

• 易感（susceptible）：患病之前，容易被感染的敏感期
• 传染（infection）：感染疾病时。以一定概率把疾病传染给易感期的邻居
  • 最初，一些节点处于传感阶段I，其他节点处于易感阶段S
  • 每个进入I状态的节点在固定的时间t内具有传染性
  • 在t的每一步，I状态的节点以p的概率将疾病传染给处于易感期S状态的邻居
• 移除（removed）：经历了完整的传染期后，不再受感染
  • 不具有传染性，也不会被传染。成为接触网络中的一个无效节点

2.2 SIR模型举例

• 粗黑的粉色节点表示I状态的节点
• 细黑的粉色节点表示R状态的节点

2.3 SIR模型的扩展

• 疾病在不同节点之间有不同的传染概率
  • 节点v和w，他们之间的疾病传播概率为 。
  • 大表示接触密切，容易传染；小表示接触比较稀少，不易传染
• 不同节点传染期的长度是随机的。。。

2.4 SIR模型的渗透表示 percolation

• 前面的SIR模型可以看成是一个动态模型（A先传了B,B再传C，C再传D。。。）
• 这个动态模型可以用一个静态模型等价表示

• 我们先看之前的动态SIR模型
  • 一旦节点v被感染，成为了I阶段的节点，那么它有一次机会，以p的概率将疾病传给其易感邻居w
  • ——>此时w是否被感染只与p有关，与v是什么时候被传染的没有关系
  • ——>可以在一开始的时候根据概率p，算出每一条边是否可以传播疾病：可以传播的边是开放边，不能传播的边是阻塞边
• 节点v成为一个被传染的节点，当且仅当从某个最初传染节点到v点有一条全由开放边组成的路径

上述SIR模型的等价形式（静态渗透） ，可以看到被传播的点是X,V,R,W

3 SIS模型 

• 在之前的SIR模型中，每个人最多只会得一次病；在SIS模型中，每个人可以多次患病
• 在SIS模型中，当节点结束传染状态后，他将直接循环回到易感状态中，并具备再次传染的条件

 3.1 和SIR模型的关系

• SIR模型中，由于可接受传染的节点数量越来越少（最终都变成R状态的节点了），所以传染过程必然会在相对较少的步骤后结束
• 而对于SIS模型，由于一个节点可以多次反复地成为易感节点，所以传染过程可以持续一个很长的时间

3.1.1 将SIS模型变形为SIR模型

• 对一个SIS模型的节点V，我们创建(V,1)，(V,2)，(V,3)，。。。。等节点副本
• ——>记形成的网络为时间扩展接触网络
• 原网络每条节点v到节点w的边，在时间扩展接触网络中，就是(V,t)到(W,t+1)的边

前面的SIS模型等价于如下的SIR模型：

 4 SIRS流行病模型

I状态节点康复后，会短暂地进入R状态，然后回到S状态