几何平均详解，及其与算术平均、调和平均、均方根的关系

article/2025/8/27 10:28:39

2. 几何平均与算术平均的转换关系（附）：
在这里插入图片描述

3.2 几何平均数适用于求连乘样本的均值，它是变化的中心，代表平均变化率；算术平均数适用于求连加样本的均值，它是数值的中心，代表平均数量；中位数适合求带有离群值样本的均值，它是位置的中心，代表平均位置。

例：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。求此5年内该地平均储蓄年利率。

r1, r2, r3 = 1.05, 1.03, 1.022  # 各年利率
n1, n2, n3 = 1.5, 2.5, 1  # 各年利率持续时间G = (r1**n1*r2**n2*r3**n3)**(1/(n1+n2+n3))
r_avg = G - 1
print('用几何级数计算平均年利率的误差：', (1+r_avg)**(n1+n2+n3) - r1**n1*r2**n2*r3**n3)  # 几何平均数的n次方等于总量A = (n1*r1+n2*r2+n3*r3)/(n1+n2+n3)
r_avg = A - 1
print('用算术级数计算平均年利率的误差：', (1+r_avg)*(n1+n2+n3) - r1**n1*r2**n2*r3**n3)  # 算术平均数的n倍等于总量

打印结果：
用几何级数计算平均年利率的误差： -2.220446049250313e-16
用算术级数计算平均年利率的误差： 3.9880648729242933

4 四种平均数的大小关系：调和平均 < 几何平均 < 算术平均 < 均方根

在这里插入图片描述

当yi=0时，上式为各点的四种平均数；当yi≠0时，上式为各残差点的四种平均数。

import numpy as np
from scipy.stats import hmean, gmean
from sklearn.metrics import mean_squared_errora = np.random.rand(3)+1
print(a)
print('调和平均:{:.3f}，几何平均:{:.3f}，算术平均:{:.3f}，均方根:{:.3f}'.format(hmean(a), gmean(a), a.mean(), mean_squared_error(a, np.zeros(len(a)), squared=False)), '\n''调和平均 < 几何平均 < 算术平均 < 均方根:', hmean(a) < gmean(a) < a.mean() < mean_squared_error(a, np.zeros(len(a)), squared=False), '\n')a = np.random.rand(3)
print(a)
print('调和平均:{:.3f}，几何平均:{:.3f}，算术平均:{:.3f}，均方根:{:.3f}'.format(hmean(a), gmean(a), a.mean(), mean_squared_error(a, np.zeros(len(a)), squared=False)), '\n''调和平均 < 几何平均 < 算术平均 < 均方根:', hmean(a) < gmean(a) < a.mean() < mean_squared_error(a, np.zeros(len(a)), squared=False))

打印结果：
[1.86470298 1.61571436 1.54136216]
调和平均:1.663，几何平均:1.668，算术平均:1.674，均方根:1.680
调和平均 < 几何平均 < 算术平均 < 均方根: True

[0.00289524 0.78991974 0.73486733]
调和平均:0.009，几何平均:0.119，算术平均:0.509，均方根:0.623
调和平均 < 几何平均 < 算术平均 < 均方根: True

即四种平均值也是按此种顺序趋近于样本点中的较小值，调和平均最接近，均方根最远离。

from scipy.stats import hmean
hmean([1, 4])
1.6000000000000001
hmean([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
2.6997245179063363

另：四种平均值受样本点中离群值的影响程度也遵循此种顺序，即调和平均受离群值影响最小，均方根受离群值影响最大。