算数平均数与几何平均数
文章目录
- 算数平均数与几何平均数
- 一、算数平均数
- 二、几何平均数
- 1.定义
- 2.几何意义
- 三、二者关系
一、算数平均数
算数平均数分为简单算数平均数与加权算术平均数。
简单算术平均：主要用于未分组的原始数据。设一组数据为 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 3 x_3 x3、…、 x k x_k xk，得到简单算数平均 M = x 1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x k k M=\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k} M=kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
加权算术平均：主要用于处理经分组整理的数据。设原始数据为被分成 k k k组，各组的组中的值为 x 1 x_1 x1， x 2 x_2 x2，…， x k x_k xk，各组的频数分别为 f 1 f_1 f1， f 2 f_2 f2，…， f k f_k fk，得到
M = x 1 ⋅ f 1 + x 2 ⋅ f 2 + x 3 ⋅ f 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x k ⋅ f k f 1 + f 2 + f 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + f k M=\frac{x_1·f_1+x_2·f_2+x_3·f_3+···+x_k·f_k}{f_1+f_2+f_3+···+f_k} M=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1⋅f1+x2⋅f2+x3⋅f3+⋅⋅⋅+xk⋅fk
二、几何平均数
1.定义
几何平均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。分为简单几何平均数和加权几何平均数。
简单几何平均数：设一组数据为 x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2、 x 3 x_3 x3、…、 x k x_k xk，计算得到简单几何平均数
G n = x 1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k k G_n=\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k} Gn=kx1x2x3⋅⋅⋅xk
加权几何平均数：设原始数据为被分成 k k k组，各组的组中的值为 x 1 x_1 x1， x 2 x_2 x2，…， x k x_k xk，各组的频数分别为 f 1 f_1 f1， f 2 f_2 f2，…， f k f_k fk，得到
G n = x 1 f 1 x 2 f 2 x 3 f 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k f k f 1 + f 2 + f 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + f k G_n=\sqrt[f_1+f_2+f_3+···+f_k]{x_1^{f_1}x_2^{f_2}x_3^{f_3}···x_k^{f_k}} Gn=f1+f2+f3+⋅⋅⋅+fkx1f1x2f2x3f3⋅⋅⋅xkfk
2.几何意义
作一正方形，使其面积等于以a,b为长宽的矩形，则该正方形的边长即为a、b的几何平均数。
几何平均： E F = C F ⋅ D F EF=\sqrt[]{CF·DF} EF=CF⋅DF，其中 E F EF EF垂直于 C D CD CD
算数平均： M = ( C F + D F ) / 2 M=(CF+DF)/2 M=(CF+DF)/2
三、二者关系
算数平均值>几何平均值，即：
x 1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k k ≤ x 1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x k k \sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k}\leq \frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k} kx1x2x3⋅⋅⋅xk≤kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk
证明：
l n ( x 1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k k ) = 1 k ( l n x 1 + l n x 2 + l n x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + l n x k ) ln(\sqrt[k]{x_1x_2x_3···x_k})=\frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k) ln(kx1x2x3⋅⋅⋅xk)=k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)
即证， 1 k ( l n x 1 + l n x 2 + l n x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + l n x k ) ≤ l n ( x 1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x k k ) \frac{1}{k}(lnx_1+lnx_2+lnx_3+···+lnx_k)\leq ln(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_k}{k}) k1(lnx1+lnx2+lnx3+⋅⋅⋅+lnxk)≤ln(kx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xk)
由于 f ( x ) = l n ( x ) f(x)=ln(x) f(x)=ln(x)在其定义域为凸函数，根据Jensen不等式
1 n f ( x 1 ) + 1 n f ( x 2 ) + 1 n f ( x 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 n f ( x n ) ≤ f ( x 1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n ) \frac{1}{n}f(x_1)+\frac{1}{n}f(x_2)+\frac{1}{n}f(x_3)+···+\frac{1}{n}f(x_n)\leq f(\frac{x_1+x_2+x_3+···+x_n}{n}) n1f(x1)+n1f(x2)+n1f(x3)+⋅⋅⋅+n1f(xn)≤f(nx1+x2+x3+⋅⋅⋅+xn)
上式得证。
