向量范数的定义如下：

若实值函数（n维向量空间向一维向量空间的映射）：满足下列条件：

（1），；当且仅当；

（2），，；

（3），；

则称为向量范数。

设x为n维列向量，常用的向量范数有范数，范数，范数：

                    

                    

                    

一般地，对于，范数为：

                    

一般我们默认为n维的欧式空间（Euclid空间，欧几里得空间），所以我们称范数为欧几里得范数。

从定义可以看出，范数对应于曼哈顿距离，范数对应于欧式距离。

所以范数，实际是用于度量向量的大小，常见的求向量的模实际上是在求向量的范数。若向量是由坐标点表示的话（x,y），则向量的模等于该点与原点连线的长度，即欧氏距离。

可以看出度量向量大小，除了常用的欧氏距离（范数）外，曼哈顿距离（）也是常见的一种度量方法。

在机器学习中，定义模型的损失函数（惩罚项）时，常使用范数和范数来定义函数损失，称为正则化和正则化。