用Python画科赫雪花

article/2025/9/13 1:37:33

文章目录

- 科赫曲线
- 飘雪
- 三维飘雪

科赫曲线

科赫曲线因为十分像雪花，所以被成为雪花曲线，生成方式十分简单，总共分两步

画一个正三角形
将正三角形的每个边三等分，然后以中间的那份为边，再画出个三角形。
重复第二步。

那么难点无非是三等分后如何新画一个三角形，更进一步，新三角形的那个新顶点在哪里？

设已知两点 $x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，设正三角形的第三点为 $(x, y)$ ，则将坐标系平移到 $x_1,y_1)$ 后对 $x_2,y_2)$ 旋转60°即可。

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}&= \begin{bmatrix}x_1\\ y_1\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}\cos\frac{\pi}{3} &-\sin\frac{\pi}{3}\\ \sin\frac{\pi}{3}&\cos\frac{\pi}{3}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_2-x_1\\ y_2-y_1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x_1 + \frac{1}{2}(x_2-x_1)-\frac{\sqrt 3}{2}(y_2-y_1)\\ y_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}(x_2-x_1)+\frac{1}{2}(y_2-y_1)\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \frac{1}{2}(x_2+x_1)-\frac{\sqrt 3}{2}(y_2-y_1)\\ \frac{1}{2}(y_2+y_1)+\frac{\sqrt{3}}{2}(x_2-x_1)\end{bmatrix} \end{aligned}$

写成Python就是

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import rand,randint# n>=1，生成科赫雪花的方法
def Koch(L,n=1):if n<1 : return LnewL = []    #(x,y)的列表k = np.sqrt(3)/2for i in range(len(L)-1):d = (L[i+1]-L[i])/3mid = (L[i]+L[i+1])/2xy = [mid[0]-k*d[1], mid[1]+k*d[0]]newL += [L[i], L[i]+d, xy, L[i]+d*2]newL.append(L[-1])return np.array(Koch(newL,n-1))

接下来，设置初始三角形，并做一个绘图函数

L0 = np.array([[0,0], [0.5,np.sqrt(3)/2], [1,0], [0,0] ])fig = plt.figure()
for i in range(6):L = Koch(L0, i)ax = fig.add_subplot(2,3,i+1)ax.plot(*L.T, c='lightblue', lw=1)plt.axis('off')     # 隐藏坐标轴plt.show()

从而得到

在这里插入图片描述

飘雪

既然有许多个雪花，那么可能就会有那种飘雪的感觉，这里只需用多个随机数生成多组科赫曲线

#n为雪花数量，low,high为最低和最高koch雪花阶数
def RandKoch(n,low,high):randKochs = []rMax = np.sqrt(1/n)for _ in range(n):cx,cy,t0 = rand(3)r = rand()*rMaxL0 = [np.array([np.cos(t),np.sin(t)])*r+[cx,cy]for t in (t0-np.arange(4)*np.pi*2/3)]randKochs.append(Koch(L0,randint(low,high)))return randKochsLs = RandKoch(100, 2,4)
for L in Ls:plt.plot(*L.T, c='lightblue', lw=1)plt.axis('off')
plt.show()plt.figure(2)
for L in Ls:plt.plot(*L.T, c='blue', lw=1)plt.fill(*L.T, c='lightblue', lw=1)plt.show()

其中，plt.fill可以填充绘制内容，其结果为

三维飘雪

如果想要那种飘雪的感觉，至少得有个3D的图，这很简单，只要加个三维的坐标就可以了。

在这里插入图片描述

#导入PolyCollection绘制实心的3D图形
from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import PolyCollection
ax = plt.subplot(projection='3d')
p3d = PolyCollection(Ls,facecolors=np.repeat('lightblue',len(Ls)),alpha=0.5)
ax.add_collection3d(p3d,zs=rand(len(Ls)),zdir='y')
# 取消坐标轴的刻度值
for axset in [ax.set_xticks, ax.set_xticks, ax.set_xticks]:axset(np.arange(10)/10, ['']*10)
plt.show()