人工智能数学基础---定积分3：微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）

article/2025/9/19 19:59:14

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分1：定积分的概念以及近似计算》介绍了利用定积分的定义进行定积分的近似计算方法，但这种方式比较复杂，如果被积函数复杂困难更大，那么定积分是否有其他计算方式呢？答案是肯定的，这个方法其实就是通过不定积分来求定积分，这也是为什么二者的表示形式和概念有这么大的相似度的原因。

二、关于积分上限的函数及其导数

在介绍定积分的计算方法前，我们先介绍积分上限的函数及其导数。

2.1、积分上限函数的概念

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，设x为区间[a,b]上的一点，则f(x)在区间[a,x]上的定积分一定存在，其形式为：
在这里插入图片描述
在此定积分表达式中，x既表示积分上限，又表示了积分变量，由于定积分的值只与积分区间和被积函数相关，与积分变量无关，所以可以把上述积分表示为：

如果x在区间[a,b]上任意变动，则对于每个给定的x值，上述定积分有个对应值，所以该定积分在区间[a,b]上定义了一个函数，记该函数为Φ（x），则有：

该函数称为积分上限函数。

2.1、积分上限函数的性质

2.1.1、定理1

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数：
在这里插入图片描述
在区间[a,b]上可导，并且它的导数：

证明思路：

设x∈(a,b)，通过ΔΦ = Φ（x）- Φ（x+Δx），即可得ΔΦ为区间[x,x+Δx]上函数f(t)的定积分，应用积分中值定理可得：ΔΦ = f(ε)Δx，当Δx趋于0时，f(ε)的极限即为f(x)，而根据ΔΦ /Δx= f(ε)，因此在Δx趋于0时，对两边取极限即可得：lim ΔΦ /Δx = Φ’(x) = f(x)。
如果x=a取Δx>0，同理可证 Φ（x）在a点的右导数等于f(a)，如果x=b取Δx<0，可证 Φ（x）在b点的左导数等于f(b)。

2.1.2、定理2

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数：
在这里插入图片描述
就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

定理2肯定了连续函数的原函数是存在的，且初步揭示了函数的定积分与原函数之间的关系。

三、牛顿-莱布尼茨公式

定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么：
在这里插入图片描述
对于a>b的情况，该公式同样适用。公式2-4又可以记为：

公式(2-4)叫做牛顿(Newton)-莱布尼茨（Leibniz）公式，也称为微积分基本公式。

证明思路：根据定理可知 Φ(x)是f(x)的一个原函数，而F(x)也是一个原函数，两者的差为一个常数C，即：

F(x) - Φ(x) = C

由于Φ(a)=0，F(a) - Φ(a)= C，则F(a)=C。即可得：
在这里插入图片描述
当x=b时，定理得证。

牛顿-莱布尼茨公式表明：

一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量，因此可以通过原函数来计算定积分。

四、微积分基本公式的应用举例

例1

在这里插入图片描述

通过这个案例，我们应该特别注意：公式（2-4）中的函数F(x)必须是f(x)在其积分区间[a,b]上的原函数。

例2

在这里插入图片描述

例3

在这里插入图片描述
本例的结论与《人工智能数学基础—定积分2：定积分的性质》所述积分中值定理稍有不同，将ε的取值区间变为了开区间(a,b)。

通过本例可以看到，积分中值定理和微分中值定理之间是有紧密的关系的，二者的内在逻辑是一致的。

例4

在这里插入图片描述

五、小结

本节介绍了积分上限函数，通过积分上限函数证明了微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式），牛顿-莱布尼茨公式表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任何一个原函数在区间[a,b]上的增量。

由于牛顿-莱布尼茨公式表明了定积分和不定积分的关系，因此可以用于定积分的精确计算。

说明：

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